三類參數方程在解析幾何中的應用

吳萍萍

摘要：在全國卷的新形勢下，參數方程作為高中數學文理科的選做題出現。在近幾年的高中數學教學過程中發現，借助參數方程可以非常快速的解決非選做題的高中數學相關問題，并且大大簡化計算量。本文通過對全高考數學的深入研究、分析，探討參數方程在高中數學的創新性應用。

關鍵詞：參數方程;高中數學;創新性

中圖分類號：G633.6?文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2020）01-0178-01

隨著全國各省市加入高考利用全國卷的浪潮，近幾年對全國卷研究的不斷深入后發現：參數方程在高中數學文理科中均出現在選修4-4的位置，作為高考的選做題。查閱了高考的考綱，對參數方程的要求為：（1）了解參數方程，了解參數的意義。（2）能選擇適當的參數寫出直線，圓和圓錐曲線的參數方程。可以發現考綱對參數方程的要求只是作為選做題出現，因此，在教學過程中，我們只是單純的為了選做而教學，并沒有以此進一步探索參數方程的靈活應用。然而，在教學的不斷深入后發現，雖然高考的要求只是作為選做題，但是參數方程的出現，大大減少了相關題目的變量，促進教學層次的深化。完全可以作為一種有效的學習方法進行歸納、總結，讓學生可以好好利用參數方程這個工具解決數學中的一些比較復雜、繁瑣的問題。因此，將參數方程在除了選做之外的數學解題中進行了一些拓展。

1.創新性思維：直線的參數方程的靈活應用

傳統的教學只是通過不斷的做題，頻繁的進行數學題型的訓練來獲得數學成績的提高。但是，這種方法往往事倍功半，學生不得其法。因此，要針對各個學校的學生特點，設計不同的典型例題，進行歸納總結，發散思維，從而舉一反三，提高學生對數學的感知力。

在選修4-4的課本中明確指出：直線的參數方程參數t的幾何意義為：t的絕對值為直線上的點到定點（x0，y0）的距離，有正負之分。對直線參數方程的研究可以發現：參數t可以用來求解與直線的定點有關的距離問題，從而避免了去求兩個點再用距離公式來求解的繁瑣的計算過程，大大簡化了計算量。

例題1：直線l：y=-x+1，曲線C的方程為y2=4x，直線l交曲線C于A、B

（1）求x-y-1=0|AB|;（2）若P（0，1），求|PA|+|PB|的值.

解題思路：直線l的參數方程與曲線C的方程聯立，得到關于t的二次方程。結合參數方程t的幾何意義，將一、二問的距離轉化為關于t的等量關系式，利用韋達定理求解。

例題2：在平面直角坐標系中，直線l的方程為，曲線C2的方程為y2=4x，若曲線l，C2相交于A，B兩點，AB的中點為P，過點P做曲線C2的垂線交于E，F兩點，求|PE|·|PF|.

解題思路：通過幾何關系求得AB的中垂線參數方程，并與C2聯立。將題目所求的距離乘積問題轉化為關于t的等量關系式，利用韋達定理求解。

此類問題主要借助直線的參數t的幾何意義，對涉及過直線定點的距離問題進行靈活轉化，大大簡化了圓錐曲線的繁瑣計算，迅速的得到所需要的答案。

2.探索性思維：圓的參數方程的巧妙應用

高中數學的特點就是解題方法靈活，并且有一定的計算要求。如果能夠探索出代數問題的幾何法，便能大大的簡化計算，快速解決難題，大大節省學生的解題時間。不失為一種非常巧妙的數學方法。

例題3：與向量結合求取值范圍

若A（1，0），B（0，-1），P是函數y=1-x2上的一個動點，求BP·BA的范圍。

解題思路：將C上任一點P的坐標用參數方程設，并結合向量的公式將題目所求的式子轉化為關于參數的三角函數式，結合三角函數最值的求法進行求解。

引入圓的參數方程，將兩個變量變成只有一個變量角度（注意參數的取值范圍），化簡成三角函數求最值的常規類型就很好處理了。可以明顯發現參數方程解決此類問題的優點。

3.發散性思維：橢圓參數方程的直觀應用

例題4：橢圓中求最值

橢圓C：x24+y29=1，直線l：2x+y-6=0，過曲線C上任一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值.

解題思路：將C上任一點P的坐標用參數方程設，再利用點到直線的距離，結合三角函數的最值求解。

上述解答可以發現：原先橢圓上的點P的坐標由兩個變量x，y來表示，所求的表達式整理后，沒辦法解決有關最值的問題。這時引入橢圓的參數方程，就可以將兩個變表示成只有一個變量，將最值問題轉化成三角函數求最值的問題。因此，參數方程在很大程度上可以減少變量，大大簡化計算，非常的實用。

4.總結

在全國卷的新形勢下，在應用參數方程解決高中數學的相關問題，主要思路：利用參數方程，可以減少題目中的變量個數，達到降元的目的。通過合理運算思維與結構，綜合參數方程的綜合知識，實現對數學問題的求解。但是，通過對以上類型的歸納整理可以發現，在應用參數方程時尤其要注意參數的幾何意義及參數的取值范圍。注意多練、多提問、多體會、多領悟，踏實學好參數方程，靈活應用參數方程，從而能夠在今后的解題中，參悟數學題目的內在隱含條件，迅速解答數學問題。

參考文獻：

[1]?王曦立.高中數學解題中的圓錐曲線參數方程應用探索[J].未來英才，2017（7）.

[2]?雷鵬.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].學周刊，2016（9）.