尋找“面積變化”的秘密

人教版《數學》教科書五年級上冊的第六單元是“多邊形的面積”。與該冊教科書配套的《教師教學用書》（以下簡稱《教學用書》）上提出了兩個與面積有關的問題，一個是圖形經過剪拼面積似乎變小了，另一個是圖形經過剪拼面積似乎變大了。按理說，圖形經過剪拼（不重疊）面積是不變的，而在這兩個問題中，面積似乎發生了變化，其“秘密”何在呢？就讓我們一起來尋找。

【問題1】如下圖，如果將圖1中的四塊幾何圖形裁剪開來重新拼接成圖2，我們將會發現，與圖1相比，圖2多出了一個洞！這怎么可能呢？理性會提出這樣的疑問。究竟是什么原因呢？老師們不妨先動動腦，想一想。（《教師用書》第231頁）

【尋找秘密】從圖1和圖2可以直觀地看到圖形經過剪拼出現了一個正方形的“空缺”，面積變小了，這怎么可能呢？秘密何在？

我們把圖1和圖2放到直角坐標系中來研究（如圖3、圖4所示）。

為了敘述方便，而且不失一般性，我們假設每個小正方形的邊長為1cm，并在多邊形的頂點上標上適當的字母。

由圖3可知，線段[OB]的斜率為[38]，線段[BC]的斜率為[25]，所以線段[OB]和[BC]不在同一直線上。連接[OC]，由于線段[OC]的斜率為[513]，且[38]<[513]<[25]，所以點[B]在線段[OC]的下方，四邊形[OBCD]的面積為[S]1=[12]×8×3+[12]×5×2+7+8=32（cm2）。

由圖4可知，線段[OB]的斜率是[25]，線段[BC]的斜率為[38]，所以線段[OB]和線段[BC]也不在同一直線上。連接[OC]、[OD]，由于線段[OC]的斜率為[513]，且[25]>[513]>[38]，所以點[B]在線段[OC]上方。由此可知，經過剪拼得到的圖形（如圖4所示）其實是一個八邊形，這個八邊形[OBCDEFGH]的面積為[S]2=[12]×5×2+[12]×8×3+7+8=32（cm2），與圖3中的四邊形[OBCD]面積相等。這就是說，剪拼前與剪拼后的圖形其面積是相等的。

既然圖3和圖4中兩個幾何圖形的面積相等，那么為什么我們看到圖4中的圖形面積要比圖3中的圖形面積小1cm2呢？事實上，這是因為線段[OB]、[BC]、[OC]的斜率相差不大，線段[OB]和[BC]的長度之和與線段[OC]的長度幾乎相等，由這樣的三條線段構成的三角形面積也很小（容易求得圖3中△[OBC]? 的面積和圖4中的△[OBC]的面積都是0.5cm2），以致使我們忽視了它們的存在（圖1和圖2中也確實沒有把它們畫出來）。因此，如果我們將圖4和圖3進行比較，就會發現圖形在拼接后線段[OC]兩旁分別增加了一個面積為0.5cm2的三角形，面積共增加了1cm2，因而在其他位置上就出現了一個面積為1cm2的“空缺”（正方形[EFGH]），保持了圖形在剪拼前后面積的相等。因為大家都能清楚地看到圖4中這個面積為1cm2的“空缺”，而增加的1cm2面積卻很難發現（圖3中的折線[OBC]是向下凸的，圖4中的折線[OBC]是向上凸的），因此就覺得圖3在經過剪拼后面積變小了。

順便指出，《教師用書》上說：“與圖1相比，圖2多出了一個洞！”這種說法似乎欠妥。如圖4所示，剪拼后得到的是一個八邊形[OBCDEFGH]，這個圖形中其實并沒有洞。

【問題2】有一張8cm×8cm的正方形紙片，面積是64cm2。把這張紙片按圖3所示剪開，把剪出的4個小塊按圖4所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，面積是65cm2。這是可能的嗎？（《教師用書》第232頁。題中的圖3和圖4分別是本文中的圖5和圖6）

【尋找秘密】這個問題其實就是出現在《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）第119頁上的“例74”。一張面積為64cm2的正方形紙片剪成4小塊，居然拼成了一張面積為65cm2的長方形紙片，面積增大了1cm2，這顯然是不可能的。秘密何在？

我們把如圖6所示的4個多邊形放到直角坐標系中來研究。為了敘述方便，在多邊形的一些頂點標上適當的字母（如圖7）。

由于∠GHO=∠GHC=90°，所以OH和HC在同一直線上，同理AE和ED也在同一直線上，且OC=AD，又OA=CD，所以四邊形OADC是平行四邊形，而∠AOC=90°，從而四邊形OADC是長方形（有一個角是直角的平行四邊形叫作長方形）。

由圖7可知，線段[AG]的斜率是-[25]，而線段[GC]的斜率是-[38]，因此線段[AG]和[GC]不在同一條直線上。由于兩條線段斜率僅差[140]，因此肉眼難以分辨，以為它們就是對角線AC。連接AC，容易算得四邊形[AGCO]的面積[S]1=[5+32]×5+[12]×3×8=20+12=32（cm2），而△[AOC]的面積[S]2=[12]×5×13=32.5（cm2）。所以△[AGC]的面積[S]3=[S]2-[S]1=0.5（cm2）。

同理可得，△[AFC]的面積[S]4=0.5（cm2）。所以四邊形[AGCF]的面積[S]= [S]3+[S]4=1（cm2）。

這就是說，長方形 [OADC]內部存在一個面積為1cm2的空隙，用“長×寬”這個公式計算長方形面積時把這個空隙的面積也算進去了，如果去掉這個空隙面積，所拼成的圖形面積還是64cm2。

順便指出，《課標》在解決這個問題時所用的方法值得商榷。

《課標》中用反證法證明了∠[GCH]+∠[DCF]≠90°，認為∠[DCO]不是直角（《課標》的圖中∠[DCO]是由兩個角組成的），從而說[OADC]不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積。事實上，如果四邊形OADC是長方形，所以∠[DCO]是直角，即∠[GCH]+∠[GCF] +∠[DCF]=90°。而《課標》中的證明忽視了∠GCF的存在，認為∠[DCO]不是直角，這顯然是不對的。

退一步說，即使[OADC]不是長方形，也不能說它的面積一定是64cm2。這種推理方法并沒有找出圖5經過剪拼變成圖6后面積增加1cm2的真正原因。建議《課標》在再版時修改一下。

《教師用書》中提出的這兩個問題并不簡單，確實值得我們深入研究。

參考文獻：

[1]張奠宙，戎松魁.“多邊形剪拼”需要一個嚴格的定義——兼為《義務教育數學課程標準》例74作一點補正[J].數學教學，2017（10）：1-3.

（浙江省杭州師范大學教育學院? ?312111）