如何理解“推理”

楊潤歌 郜舒竹

【摘? ?要】推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。其形式多種多樣，包括演繹推理、歸納推理、類比推理、比例推理、協變推理以及變換推理等。推理能力貫穿于整個數學學習的過程，教師要幫助學生學會追根溯源，明晰算法背后的推理以及用聯系的眼光看待推理間的不同形式，理解這些內容將有助于推理能力和辯證思維的發展。

【關鍵詞】推理;比例推理;協變推理;變換推理;聯系

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中指出，在數學課程中，應當注重發展學生的推理能力。推理是人們日常生活和學習中經常使用的思維方式，它一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理的功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。《課標》中主要強調了演繹推理、歸納推理和類比推理，需要進一步思考的問題有：這幾種推理形式之間的關系是什么？是否還有其他的推理形式？推理能力指怎樣的數學能力？

一、推理

人的思維方式包括概念、判斷和推理，其中推理（Reasoning）是指從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。[1]對于這種思維形式可以從形式邏輯推理和辯證邏輯推理進行深入認識。

（一）形式邏輯推理

形式邏輯包括演繹邏輯和歸納邏輯的內容，它指撇開具體的、個別的思維內容，從形式結構方面來研究命題。演繹邏輯是以演繹推理為基本內容的邏輯體系，其中演繹推理指由一般性知識為前提推出個別性知識結論的推理。而歸納邏輯是以歸納推理為基本內容的邏輯體系，其中歸納推理是從個別性知識為前提推出一般性知識結論的推理。

演繹推理與歸納推理均是由前提推出結論的過程，只不過演繹推理是由一般到特殊的過程，前者涵蓋的知識內容要大于后者，按這一思維方式進行推理得出的結論必定是正確的，因此演繹推理亦可稱為必然推理。相反，歸納推理是由特殊到一般的過程，其中的完全歸納推理為必然推理，不完全歸納推理則為合情推理。

類比推理是根據兩個或兩類對象某些屬性的相同，推出它們的其他屬性也可能相同的推理。類比推理是一種合情推理，其可靠程度取決于“前提中確認的共同屬性的多少以及共同屬性和類推出來的屬性的關系是否密切”。[2]因此，按必然推理與合情推理的分類標準對《課標》中的相關內容進行整理，如圖1所示。

《課標》中談及“教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力”。但圖1的推理關系表明，歸納推理并非全部屬于合情推理的范圍，而僅指歸納推理中的不完全歸納推理。

在形式邏輯的學科視野中，推理前提的真實性是由各門具體科學給定的，是各門具體科學研究的對象，形式邏輯本身是無從證實其前提內容真實性的。[3]也就是說形式邏輯推理是從具體推理中抽象出推理形式進行研究，只要滿足其同一律、矛盾律和排中律即可，無須考慮內容。這就使得《課標》中關于“通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認”的說法，更值得細細推敲，即進行演繹推理的前提不一定都是正確的。

（二）辯證邏輯推理

辯證邏輯不是關于思維的外在形式的學說，它研究概念的矛盾和轉化，是現實的矛盾運動在思維運動中的反映。[4]概念間的組合會形成命題或判斷，而推理又是從一個判斷到另一個判斷的過程，因此概念、判斷和推理三者之間環環相扣。辯證邏輯將概念中的矛盾繼續延伸到推理中。矛盾的普遍性決定了當以辯證的眼光看待問題時，任何事物都是對立統一的存在，也就是矛盾具有客觀性，這種矛盾是無法消除或避免的。

在形式邏輯中也存在矛盾律，是指某一命題或判斷不能既為真又為假。只要遵守這條規律，注重命題或判斷的描述，矛盾是可以避免的，這一點與辯證邏輯有所不同。《課標》關于“證明命題時，應要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理”這一表述中的“符合邏輯”是符合形式邏輯。一是指推理形式符合規律，主要是指矛盾律。若按形式邏輯理解矛盾律自然可以避免，但若以辯證思維來考慮問題，矛盾一定存在就不合乎邏輯了。二是忽略了推理內容。比如人教版小學數學四年級下冊出現的“雞兔同籠”問題，其中一種解題想法是“使雞抬起一只腳”以及“兔抬起兩只腳”，進而推理出雞兔各為多少。[5]這一過程中出現的“是雞”“非雞”與“是兔”“非兔”的內容情境是存在矛盾的，顯然也不符合形式邏輯。

形式邏輯推理與辯證邏輯推理各有其特性，二者相輔相成，可以從形式與內容兩個角度以辯證思維看待推理形式。《課標》中將合情推理與演繹推理作為兩種相輔相成的推理形式，強調“‘證明的教學應關注學生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗”。此處似乎將推理能力的發展寄托于證明題，并在附錄中出示了相關例題（參見《課標》例62）。事實上，推理不僅存在于證明題中，在應用題的求解、知識點的學習等內容中均有體現，且推理形式不拘泥于《課標》中所談及的。

二、多樣性

推理的教學往往不會孤立存在于某一板塊內容與某幾種形式之間，因此除《課標》中談及的演繹推理、歸納推理和類比推理外，推理的形式是多種多樣的。

（一）比例推理

比例推理（Proportional Reasoning）是關于數量關系的思考，要求同時對幾個數量或值做出比較。[6]在小學數學教科書中比例推理常以缺失值的形式呈現。如“小明騎行4千米用時20分鐘，小剛同速騎行12千米需要多長時間？”對于該問題，可以從以下三個角度思考。其一“一份是多少”的策略，根據小明的騎行信息可知二人的騎行速度為1分鐘行駛[15]千米，或行駛1千米用時5分鐘，此時再運用速度、時間與路程的數量關系即可求得小剛的用時。其二“倍數有多少”的策略，小剛比小明多走了3倍，所用時間亦為3倍關系。其三“交叉相乘”策略，利用二者同速的條件列方程求解。[7]前兩種策略是建立在學生生活經驗之上的一種直觀方法，而第三種策略是學生慣用的一種算法，只要遇到相似形式的方程就會做出的一種操作，因此，需要進一步思考這種算法背后的算理是什么。

因此，數學教學中培養的推理能力，應當是用聯系與發展的眼光看待問題的綜合能力。

綜上，推理作為一種思維形式，要將推理的形式結構與內容結合起來辯證地加以認識。在知識學習以及問題解決過程中存在多樣的推理形式，它們之間相互聯系，并不是彼此割裂的對立面。

參考文獻：

[1]史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016：119.

[2][4]余源培.簡明哲學辭典[M].上海：上海辭書出版社，2005：246，223.

[3]賀善侃.辯證邏輯和形式邏輯推理研究比較[J].重慶理工大學學報（社會科學版），2013（9）：47-52.

[5]郜舒竹.雞兔同籠問題中的辯證思維[J].課程·教材·教法，2019（9）：88-93.

[6]李曉東，江榮煥，錢玉娟.中小學生對比例推理的過度使用[J].數學教育學報，2014（6）：73-77.

[7]Kathleen C， Thomas P. Proportional Reasoning[J]. The Mathematics Teacher，1993， 86（5）：404-407.

[8]Marilyn C， Sally J， Edward C. Applying Covariational Reasoning While Modeling Dynamic Events： A Framework and a Study[J]. Journal for Research in Mathematics Education，2002， 33（5）：352-378.

[9]Simon M A. Beyond Inductive and Deductive Reasoning： The search for a sense of knowing[J]. Educational Studies in Mathematics，1996， 30（2）：197-210.

[10]Kuo-Liang Chang. Redeem Reasoning[J]. Mathematics Teaching in the Middle School， 18（7）：396-399.

（首都師范大學初等教育學院? ?100048）