復合函數考查中常見的4類問題

謝永惠

(福建省漳州市龍海區教師進修學校)

復合函數是高考中的必考題目,但因其問題較為復雜,解題具有一定的難度,導致學生在考試中解題效果并不理想,容易出現各種錯誤.為幫助學生更加全面地掌握復合函數,本文結合實際問題,總結復合函數在考試中的常見題型及解題策略,以促進學生成績的提升.

1 零點問題

復合函數的零點問題是考試中常見的問題之一,在實際解題中,可以將復合函數中內函數進行換元處理,如將y＝g[f(x)]中的內函數換元為t＝f(x);而后畫出相應的圖像,這一過程需進行分類討論;最后借助數形結合方法解答復合函數的零點問題.

例1已知函數f(x)＝－x2－2x,g(x)＝若方程g[f(x)]－a＝0有4個實數解,求a的取值范圍.

解析令t＝f(x),則t＝f(x)＝－x2－2x圖像如圖1所示.

圖1

當t＞1時,y＝t與y＝f(x)無交點;

當t＝1時,y＝t與y＝f(x)有1個交點;

當t＜1時,y＝t與y＝f(x)有2個交點.

作出函數a＝g(t)的圖像,分析y＝a與y＝g(t)交點橫坐標t的取值及范圍,得到t＝f(x)的交點個數.方程g[f(x)]－a＝0,即a＝g[f(x)],則可以視為a＝g(t),t＝f(x)的復合,即

作出a＝g(t)的圖像,注意到t＝－x2－2x≤1,則函數a＝g(t)的圖像如圖2所示.

圖2

當a＞g(1)＝時,y＝a與y＝g(t)有1個交點,此時y＝t與y＝f(x)有2 個交點,即方程g[f(x)]－a＝0有2個實數解,不符合題意.

當a＜1時,y＝a與y＝g(t)有1個交點,此時t＜0,即y＝t與y＝f(x)有2 個交點,即方程g[f(x)]－a＝0有2個實數解,不符合題意.

綜上,a的取值范圍為[1,).

點評g[f(x)]是典型的復合函數,先通過換元令t＝f(x),再畫出其圖像并對t的取值進行分類討論;而后作出函數a＝g(t)的圖像,分析y＝a與y＝g(t)的交點,得到的交點個數,最終解答問題.

2 奇偶性問題

在解答復合函數的奇偶性問題時,需要在關于坐標原點對稱的定義域背景下進行分析,同時應當緊緊圍繞奇偶性的定義與復合函數“同奇為奇,其他為偶”的特性進行解答問題.

例2是奇函數,a∈R.

(1)求a的值;

(2)對任意x∈(－∞,0),不等式f(2x＋1)＞log2(m－2x)恒成立,求實數m的取值范圍.

點評在解答第(1)問時,需要結合奇函數的定義構建關系式,解方程得到參數值;在解答第(2)問時,需要對不等式進行轉化,通過構建函數,利用基本不等式、函數定義域等確定參數的取值范圍.

3 單調性問題

單調性是函數的基礎性質,因此復合函數的單調性也是常見的考點,其主要考查了學生對函數相關基礎知識的掌握情況.在解答這類問題時,還需學生擁有堅實的理論基礎,進而結合題目信息逐步解答.

例3函數的單調遞增區間是( ).

A.(0,1] B.(－∞,1]

C.(0,＋∞) D.[1,＋∞)

解析令u(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5,則f(x)＝()u(x),則u(x)的對稱軸為x＝1,故u(x)在(－∞,1]上單調遞減,在[1,＋∞)上單調遞增,故f(x)在(－∞,1]上單調遞增,在[1,＋∞)上單調遞減,故選B.

點評在本題解答過程中,首先進行了換元處理,其次通過分析可得到函數u(x)的單調區間;而后根據復合函數“同增異減”的法則,確定答案.

4 參數問題

含參復合函數是參數問題中較為常見的考查方式,在解答這類問題時,學生需要結合實際問題選擇合適的方法(如分離參數法、導數法、數形結合法等)快速解題.

例4 已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解析當0＜a＜1時,f(1)＝a＋lna＜1.

當a＝1時,f(x)＝ex－1－lnx,則f′(x)＝當x∈(0,1)時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減,當x∈(1,＋∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增.因此,當x＝1時,f(x)取得最小值,為fmin(x)＝f(1)＝1,從而f(x)≥1.

當a＞1時,f(x)＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥x－1＋1－(x－1)＝1.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).

點評在解答本題過程中,借助了導函數思維,通過導函數將不等式問題轉化為了單調性與極值問題,從而使學生快速解答問題.

本文總結了對復合函數考查過程中常見的零點問題、奇偶性問題、單調性問題及參數問題及其常用的解題方法,以幫助學生找準復習方向,提高成績.

(完)