淺談中考數學疑難問題訓練解決的方法

張藹東

反比例函數、一次函數、二次函數、三角形等的綜合題是中考的重點之一，出現在廣東中考解答題（三）的第23題，難度較大，但學生能否在該大題得到理想的分數，將影響學生在整份中考試卷的考試心理和得分，亦是拉開考生之間分數差距的題之一。在平時的復習備考中已復習函數等的相關知識，但計算準確性、答題速度和規范性需要加強。通過培養并形成將壓軸題化難為易的能力與意識，體會數形結合思想、轉化思想、函數思想、方程思想在數學問題解決中的作用，增強解決函數綜合題的自信心。在解決問題中能用待定系數法求函數表達式，能根據兩點之間線段最短，把求圖形最小周長轉化為求線段長問題，要掌握直角坐標系中求圖形面積的常用方法。

一、教師用PPT課件的幻燈片展示下列問題

1.拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與直線y=kx+b交于點A（2，3）和B（1，4），求一次函數表達式和拋物線y=-x2+bx+c的表達式。

2.兩點之間? ? ? ? 最短。

3.將軍飲馬問題。

4.二次函數取得最大值或最小值，與y=ax2+bx+c中的哪個量有關？

二、解決疑難問題的思路與方法

教師讓學生獨立思考，動筆做題，然后回答問題，從而總結出以下思路與方法：

1.因為點A、點B在直線上，所以把點A（2，3），B（1，4）代入y=kx+b得：k=-1，b=5故一次函數表達式為 y=-x+5，再把 A（2，3）、B（1，4）或C（0，3）代入y=-x2+bx+c得b= 2， c=3.所以，二次函數的表達式為：y=-x2+2x+3.

2.線段。

3.教師出示關于將軍飲馬的問題解決方法：（1）如下左圖，直線L的兩側兩點A、B，在直線L上求作一點P，使PA +PB 最小。

（2）如上右圖，直線L的同側兩點A、B，在直線L上求作一點P，使PA+PB 最小。

（3）如下左圖，點P 是∠MON 內的一點，分別在OM，ON 上作點A、B，使△PAB 的周長最小。

（4）如上右圖，點P，Q 為∠MON 內的兩點，分別在OM，ON 上作點A，B。使四邊形PABQ的周長最小。

4.與a值有關。通過上面的學習之后，教師自編一些相關聯的題目，檢查學生應用知識解題的情況，同時，也便于教師很好地了解學生已有的函數綜合的基礎、答題規范等。學生“動手做”是“感悟”的基礎。

5.教師出示自編題練習。如圖，拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與直線y=kx+b交于點A（2，3）和B（1，4）。

（1） 在y軸上，是否存在一點E，使得ED+EB最小，若存在，求出這個最小值及點E的坐標;若不存在，請說明理由。

（2）連接BC，BD，CD，求△BCD的面積。

6.教師請學生思考并討論以下問題

①解決本題的第（1）問的關鍵是什么？如何才可以找到點E呢？

②你能說說第（2）問的解題思路嗎？你能用多少種方法？

教師先重點分析以下方法：（1）采用豎割法分割成兩個三角形進行計算

過點B作BF∥y軸，交CD于點M，過點C作CF∥x軸，交BD于點F。

（2）采用橫割法分割成兩個三角形進行計算。

讓學生5人一小組，分組討論，學生代表來說題，師生齊歸納：

①解決本題第1問的關鍵是：找點E。那如何找點E呢？只需要作點B或D關于直線（x軸或y軸）的對稱點，連接對稱點與另一點的交點即為所求點E，也就是將軍飲馬問題。

②第（2）問的解題思路及做法如下圖所示：

三、學生書寫解題過程

解：（1）存在。把B（1，4）和C（0，3）分別代入y=-x2+bx+c得

解得

所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.令y=0，即-x2+2x+3= 0，解得x1=3，x2=-1故D（3，0）.

作點B關于y軸的對稱B'（-1，4），連接DB'交y軸于點E，即點E為所求。設直線 D B'的解析式為：y=k1x+b，把 B'（-1，4）、D（3，0）分別代入上式解得：k1=-1，b=3，故直線DB'的解析式為：y=-x+3.當x=0時， y=3.所以點E的坐標為（0，3），點E與點C重合。所以ED+EB=ED+EB'=DB'=.

（2）（豎割法）過點B作BF∥于y軸，交直線CD于點M，則S△BCD=S△BCM+ S△BDM，因為OD=3，又因為C（0，3），所以設直線CD的解析式為：y=mx+n，把C（0，3）、D（3，0）分別代入上式解得：m=-1，n=3，故直線CD的解析式為：y=-x+3.把x=1代入上式得：y=-1+3=2，點M（1，2）故BM=4-2=2， 所以S△BCD=S△BCM+ S△BDM= BM（1+2）=×2×3=3.

通過一題多變，目的是培養學生的分析問題的能力、辯別圖形的能力、推理能力、計算能力、舉一反三的能力。

四、教師出示變式訓練一

如圖，拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與與直線y=kx+b交于點A（2，3）和B（1，4）。

（1）求證：點B是拋物線y=-x2+bx+c的頂點坐標。

（2）在y軸上，是否存在一點E，使得以D、B、E三點所構成的三角形周長最小，若存在，求出這個最小值及點E的坐標;若不存在，請說明理由。

（3）在直線CD上方的拋物線上，是否存在一點B1，使得△B1CD的面積最大。

2.教師設計問題引導學生思考、分析：

①本題的第（1）問有什么特點？

②本題的第（2）問與第5題的第（1）問有什么不同？

③如果用豎割法解決本題，點M的坐標隨著哪個點的坐標變化而變化呢？

④點M的坐標和點B1的坐標應該怎樣設置呢？

五、變式訓練二：（改編）

如圖，拋物線y=-x2+bx+c交y軸于點C（0，3），交x軸正半軸于D，并且與與直線y=kx+b交于點A（2，3）和B（1，4），若點 P是y軸的一動點，則在x軸上是否存在一點Q，使A、B、P、Q四點所圍成的四邊形周長最小。若存在，求出這個最小值及點P、Q的坐標;若不存在，請說明理由。

隨著題目的難度逐漸增加，目的是培養學生應用知識的能力以及知識遷移的能力。通過解決一道題以及其變式題來理解同一類問題的方法，以求達到做一道而通一類的效果。總結、反思和提煉函數綜合題的主要類型、解決問題的策略和主要數學思想方法。通過這樣的練習培養學生的總結能力，讓學生更好地掌握解決此類問題的方法與技巧，形成將壓軸題化難為易的能力與意識，提高學生的數學成績。