談數學教學中“猜想與直覺思維”能力的培養

陶 強

(重慶市潼南中學校 重慶 402660)

著名數學家波利亞曾說，“要成為一個好的數學家，……你必須首先是一個好的猜想家”“數學也許往往像猜想游戲，在你證明一個數學定理之前，你先得猜測到這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路”“在數學領域中，猜想是合理的，值得尊重的，是負責任的態度”。高中數學新課標明確指出，要組織、引導學生“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學過程”。通過有目的的假設與猜想，從而進行檢驗與論證、歸納，可以解決很多數學問題。

一、明確直覺思維能力與猜想能力培養之間的關系

（一）猜想為直覺思維的發生創造有利條件

在數學教學中，給學生留一定的空間與時間讓他們有思考的余地，巧妙設置問題與提示，引導學生運用已有的知識、原理，對知識的內在、外在進行聯系，歸納、類比及整合。對問題進行合理探究，大膽對問題進行假設與猜想，再通過反復推理、檢驗、研究、論證得出正確的結論，把課堂真正地交給學生，發揮學生的主體性地位，時時給予肯定、點撥，激發學生的學習興趣，發揮學生的創造力，激發學生的直覺思維[1]。

（二）直覺思維能力的培養可加強猜想能力的培養

數學猜想是根據已知數學條件和數學原理對未知量及其關系做出的假設與推斷，是一種探索性思維。猜想與數學直覺有密切關系。物理學家牛頓認為“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”“預見結論，途徑便可以有的放矢”。解決數學問題的過程中，教師可以將自己的思維切入點及猜想角度剖析給學生，從而激發學生利用直覺及對問題獨特的觀察力進行大膽猜測。

二、數學猜想和直覺思維能力培養應具備的基本條件

（一）教師首先要會猜想

一位既不懂猜想也不會猜想的教師不能培養出具有高水平猜想能力的學生。教猜想必須懂猜想、會猜想。數學教師具備較高的猜想能力，懂得現代教育心理理論，大膽地猜想和教猜想，同時密切關注學生的思維發展狀況，摸索猜想規律，總結經驗，并在理論上加以探索、論證。

（二）探索適合猜想的數學教學模式

數學教學必須注重知識的發生過程，但真正能做到展示知識的生動發生過程的，惟有讓學生參與猜想。要真正體現學生的主體性，就必須使學生的認知過程是一個再創造的過程。數學教師必須發揮自己的聰明才智，總結當前好的教學模式，探索出符合培養猜想能力的教學模式。

（三）做好猜想的學法指導

拉卡托斯指出：樸素的猜想構成了數學發現的邏輯實際出發點。從某種意義上可以斷言，沒有猜想和證明就沒有數學。因此，應教會學生怎樣猜想，如引導他們怎樣整合材料、提出疑問，如何猜想結果或問題解決的途徑；介紹各種實現猜想的途徑、步驟、規律、方法；共同研究猜想途徑的合理性和有效性等。

三、數學猜想和直覺思維能力的培養基本方法

（一）歸納性方法猜想

歸納法是先提出猜想之后再證明的。數學教師要選擇具有可猜因素的材料，讓學生在問題情境中去思考，根據一定數量的特例進行觀察、分析，應用不完全歸納法得出有關命題的形式、結論或方法的猜想，叫歸納猜想。歸納猜想是數學創造性思維的一種基本方法，而且，在解題中由歸納猜想可以發現解題思路，發現知識間的內在聯系，從而獲得超越原有知識的認識水平[2]。

例：求前n個自然數的立方和。

分析：先用幾個具體的數字試試看：

13=12

13+23=9=(1+2)2

13+23+33=36=62=(1+2+3)2

歸納猜想：13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

這個猜想的正確性可由數學歸納法加以證明。

（二）運用類比方法猜想

通過比較兩個對象或問題的相似性——部分相同或整體類似，得出數學新命題或新方法的猜想叫類比猜想。它是一種從特殊到特殊的推理方法，在解決數學問題時，無論是對命題本身或解題思路方法，類比都是產生猜測、獲得命題的推廣和引伸的原動力。比如，學習對數后，根據對數與指數的關系，可讓學生對照指數的運算性質“猜想”對數是否也有運算性質，并通過對一些特殊的對數值（如lg1，lg2，…lg9，lg10）之間的關系歸納對數的運算性質，讓學生在類比、歸納中得出運算性質，這樣有利于提高學生的創造性思維和創新意識[3]。

（三）直觀性方法猜想

直觀猜想是指在整體觀察和細部考察的結合中發現事物的內在規律，作出直覺判斷和猜想。例如，三角形的內角和是180度。這是一個十分重要的概念。在教學中我讓學生自己動手操作，自己尋求三角形內角和的答案。這時，有的學生將三角形的三個角分別剪下來，拼在一起是一個平角；有的學生剪下三角形的兩個角后，再與第三個角拼在一起同樣可以得出結論；還有的學生則用量角器分別量出每個角的度數，把三個角度數相加。

教師要給學生營造一種寬松、和諧的猜想氛圍，并鼓勵學生積極尋找猜想的依據，探索猜想的合理性和準確性，通過自己的實踐操作檢驗猜想的真偽。在數學學習中，猜想的功能是強大的，它可以激發學生的學習興趣，使他們不斷探索、收獲。它能增強學生的學習動力，使他們更為透徹地理解和掌握數學知識；它又能開拓學生的思維，有利于學生更快捷地尋找解題思路。有利于更為透徹地理解和掌握數學知識。

讓我們點燃學生主動探索之火，讓學生去猜、去想，猜想問題的結論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機聯系，讓學生把各種各樣的想法都講出來，真正成為學習的主人。