培養數學空間想象力

陳晨

立體幾何是高中數學的重難點之一。本文結合突破空間幾何體的截面問題，談對培養學生空間想象能力的實踐與思考。

2020年武漢市高三九月新起點考試第7題（如下圖），很多學生不能正確解答。

錯因分析：已知直線[l]與平面[a]上一條直線平行，那么直線[l]與平面[a]的位置關系應有兩種可能，一是[l？a];二是當[l？a]，[l∥a]。學生不能識別的原因是空間想象能力較差，不能由已知圖形作出平面ABC切正方體的完整截面，從而忽視了直線MN在平面ABC內的可能，直接由線線平行到線面平行。

針對學情，筆者希望通過突破空間幾何體（以正方體為例）的截面問題，培養學生的空間想象能力。

筆者先畫出一個正方體，并在上面選擇了不相鄰的三個頂點，如圖1中A、C、F，請學生討論過這三點的截面的形狀。學生很快得出結果：確定截面的形狀要點是找到平面與正方體各個面的交線，而確定交線只需找到兩個平面的兩個公共點，將公共點連接起來就是我們所要找的交線。作出三條交線AF，AC，CF之后，三角形ACF即為完整截面。對于這類比較簡單的情形，學生歸納出以下幾種方法。

一、直接法

有兩點在正方體的同一個面上，連接兩點即為截面與正方體的交線，順次連接各點所形成的平面圖形即為截面。

筆者提高難度：以前面所舉第7題的A選項為例，如圖2，I、J、K、L分別為所在棱的中點，請確定直線IJ和平面KLC的關系。學生很容易證明出IJ與KL是平行的，但此時仍需要判斷IJ是否在平面KLC上。因此，下一步目標是確定平面KLC切正方體的完整截面。

在這個過程里，學生遇到一個障礙：當他們用前面的方法順次連接K、L、C三點的時候，得到了交線KC和LC，但KL并不是平面與正方體表面的交線，于是畫出的三角形KLC也并不是完整截面。學生進一步思考，已知側面AEHB與截面KLC有一個公共點K，則這兩個面的交線必過K點。又已知正方體相對的兩個面互相平行，那么平面KLC與這兩個平行平面的交線一定平行。因此，過K點作出LC的平行線KE，即為交線。學生用同樣的方法得到另一條交線LE。此時ELCK構成的四邊形就是完整截面，顯然IJ直線不在該截面上，因此可得線面平行。

學生繼續總結第二種情形：發現當所畫出的截面不完整時，需要補全截面，此時需要確定截面所在平面與正方體表面的交線，那么可通過作平行線的方法擴大圖中的截面范圍。

二、平行線法

過直線與直線外一點作截面，可過該點作直線的平行線，進而找到截面與幾何體的交線。

接下來，筆者以D選項為例。如圖3，需判斷直線LM與平面IJK的關系。

這里學生遇到了更大的障礙，得到交線IK，IJ之后，三角形IJK不是完整截面，并且過J點或K點作平行線也依然不在正方體的表面上，不能直接用平行線法。筆者提示：我們回歸問題的本質，找交線問題實際上還是找公共點，現在該如何找到平面IJK和底面BHGC的公共點呢？筆者讓學生觀察側面AEHB，顯然IK和BH不平行，則它們延長之后必交于一點N。學生發現N點同時屬于直線IK和BH，也即同時屬于平面IJK和平面BHGC，于是得到了這個公共點。下一步，學生通過平行線法過N點作出IJ的平行線，得到截面與底面的交線NO，交HG延長線于點O，此時O點同時屬于直線NO和HG，也即同時屬于平面IJK和平面HGFE，O點是平面IJK和平面HGFE的一個公共點，又已知J點也是平面IJK和平面HGFE的一個公共點，則連接JO得到一條交線JL。學生再順次連接各點得到交線KP，PM，ML，最終得到完整截面為六邊形IJLMPK。顯然LM在此平面上，不能得到線面平行，因此本題正確答案是D選項。

三、延長線法

將在同一平面上兩點連線延長直至與另一個平面相交，得到一個公共點，在同一平面上若有兩個公共點，則兩點連線為交線。

培養空間想象力的前提是對空間圖形足夠了解，以及對點線面體這一系列規律的熟練掌握，只有做到這些，學生才能順利地在腦海中建立起空間模型，幫助他們去理解和解決立體幾何的相關問題。