論數學猜想的學與教
——以“運算律”的學與教為例

徐文彬

筆者有幸多次參與有關“運算律”的各級各類教學觀摩活動，發現有一個問題必須解決，否則，它會影響我們對一些基本問題的看法，從而影響學生對相應數學知識的理解與把握，甚至更多。這個問題就是，究竟什么是數學猜想？

其實，這個問題的真實教學情境就是，在教授“加法交換律”或“乘法交換律”之后，教師一般都會引導學生提出所謂的關于“減法交換律”或“除法交換律”的猜想，然后通過學生的反例加以否定，從而得出“減法和除法沒有交換律”的結論。

一、什么是數學猜想

一般而言，科學猜想是指針對“研究問題”，基于大量的“正面實例”，以及“得到證實”的學科知識或一般原理，與此同時還沒有“反面實例”，所提出的有關“正面實例”的“有待證實”的一般性結論。

而數學猜想則是指針對“數學問題”，基于聯想，通過（不完全或因果）歸納或類比，提出“有待證明”的一般性結論的思維過程。在這個思維過程中，聯想是前提，試驗與觀察是基礎，歸納與類比則是其提升（對試驗和觀察結果的躍遷），其結果便是“有待證明”的猜想（一般性結論）。之所以稱這“一般性結論”為猜想，就是因為它“有待證實”或“有待證明”，而且提出“猜想”時還沒有出現“反面實例”或“反例”。因此，數學猜想的提出就不能有“反例”的出現，而這也就要求猜想提出者在提出猜想之前，要有主觀上努力尋求“反例”的試驗和觀察過程，而且沒有收獲任何“反例”。在提出猜想時，如果存在“反例”，就不應該也不能夠提出相應的所謂“數學猜想”。否則，就是“隨想”。

上述“真實的數學教學情境”主要存在以下兩個方面的問題：一是明知有“反例”（譬如，學生在學習減法之初便已經知道“2-3 是行不通的”這類減法問題；學習除法時也已經曉得“4÷2與2÷4 是不可能相等的”這類除法問題），卻硬要“引導”學生提出所謂的“減法交換律”或“除法交換律”的猜想；二是在教授“加法交換律”或“乘法交換律”時，缺少一個“引導學生主觀上去尋求‘反例’而不得的學習、思維的活動過程”。

那么，我們應該如何來引導學生學習數學猜想呢？又應該怎樣來教授數學猜想呢？下面，筆者仍然以“運算律”為例，來試著解決這兩個問題。

二、如何學習數學猜想

就我國課程標準意義下的小學數學教材而言，“運算律”的學習內容一般都安排在四年級第二學期，其主要內容就是加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法（對加法的）分配律以及運算律的綜合或靈活運用或應用。在具體的學習或教學安排上有這樣兩種處理方式：一是先學習或教學加法運算律（包括交換律和結合律），然后學習或教學乘法運算律（包括交換律和結合律），最后學習或教學乘法（對加法的）分配律；二是先學習或教學加法和乘法的交換律，然后學習或教學加法和乘法的結合律，最后學習或教學乘法（對加法的）分配律。

這兩種處理方式各有利弊，應視具體教學情境加以選擇、采用。第一種處理方式的優點是歸類清晰——加法運算律、乘法運算律以及分配律（加法和乘法“聯合”的運算律）。第二種處理方式的優點是依據“運算律”本身的特點對其進行分類——交換律、結合律以及分配律，同時還蘊含著“加法與乘法的類比”，但不夠徹底。因為沒有分配律上的“加法與乘法的類比”。盡管分配律上的這一類比不成立，但應該可以引導學生去思考這一問題，從“反面”來體會類比的方法論意義，即類比是“發現的邏輯”而非“證明的邏輯”。有待證明的發現可能是不正確的，有待確證；已經證明的發現則是正確無疑的，無須再證。

因此，無論選擇、采用哪種處理方式，甚至是先后使用或者混合使用兩種方式，我們都應以學生已有的算術四則運算經驗為前提，激發學生的聯想，引導他們充分展開對已有經驗的分析與反思（都是如此嗎？沒有反例嗎？確實都是如此，沒有發現反例），并運用歸納或類比來提升其分析與反思的結果，從而使他們達成對分析與反思結果的躍遷，提出“運算律”的猜想。盡管對學生而言，提出的“運算律”都有待證明，但這一過程意義非凡。其實，對教師而言，可能也是大致如此，但這已無關宏旨！

三、怎樣教學數學猜想

基于上述筆者結合“運算律”對數學猜想及其學習的分析與思考，筆者認為，“運算律”的教學可以從以下幾個方面來構想或設計。

1.要有聯想的前提：必要的積累。

如果沒有任何相關的知識經驗積累，也沒有任何想象力，那么，所謂的聯想是不會發生在任何人身上的（哪怕那個人是天才也無濟于事，或者說只能算是一個隨想而已）。事實上，在學習運算律之前，學生已經積累了大量的算術四則運算經驗（若從小學一年級算起，至少有三年半的時間；若從幼兒園算起，就更長久了）。不僅如此，學生還學習了若干算術四則運算的法則（即運算法則，有的比較明確，有的比較隱晦）。更為重要的是，在學習算術四則運算及其運算法則時，盡管沒有點明、道破，但學生已經在大量地運用運算律了。

其實，這是我們引導學生學習運算律時極佳的、學生已有的知識經驗積累，不可不用，更不能無視。這里的關鍵問題是：應該如何運用？怎樣運用才能用得更好？如何運用才能更有利于學生數學思維的培養和數學核心素養的提升？這就需要教師想方設法來激發學生的想象力，促動其聯想機制，并引導其分析、反思他們所擁有的豐富的算術四則運算經驗。而若要著眼于學生數學思維的培養和數學核心素養的提升，還必須把這五個“運算律”作為一個整體來加以考察。

2.要有試驗、觀察的基礎：充分的過程。

試驗和觀察過程的充分展開是指針對所面臨的數學問題（譬如，如何總結、概括出算術四則運算的“運算律”？），我們要充分對其進行試驗與觀察（此前，盡管學生已有大量算術四則運算的知識經驗，但沒有針對“運算律”的試驗與觀察），并在此基礎上不斷進行總結和概括。

譬如，在指導學生學習（加法和乘法的）交換律時，教師可以引導學生思考這樣一些問題：（1）如果我們班每一位同學都任意取兩個數，并把它們加（或乘）起來，那么，針對大家所取的那兩個數，每個人最多能寫出幾個不同的算式？（2）如果不計算（當然，也不需要心算），你知道運算結果是一樣的或相等的嗎？（3）如果把全班同學所列舉的所有情況都“放在一起”，你能總結、概括出什么樣的一般性結論呢？（其實，我們早就已經在運用交換律了）（4）為什么？（加法或乘法的意義）（可以視教學的具體情況來確定先提出第三個問題還是第四個問題，第三個問題意在指向不完全歸納；第四個問題則意在指向因果歸納，可能還有類比——加法和乘法的類比）

類似地，在指導學生學習（加法和乘法的）結合律時，教師可以引導學生思考這樣一些問題：（1）如果我們班每一位同學都任意取三個數，并把它們加（或乘）起來，那么，針對大家所取的那三個數，每個人最多能寫出幾個不同的算式？（2）如果不計算（當然，也不需要心算），你知道運算結果是一樣的或相等的嗎？（3）如果把全班同學所列舉的所有情況都“放在一起”，你能總結、概括出什么樣的一般性結論呢？（其實，我們早就已經在運用交換律和結合律的“導出規律”了，為什么我們不把這“導出規律”也賦予一個“專名”呢？其實，這體現了數學的簡潔之美，因為這里的“導出規律”內含了交換律和結合律，所以，我們需要把交換律從中請出去，而只留下結合律）（4）為什么？（可以視教學的具體情況來確定先提出第三個問題還是第四個問題，第三個問題意在指向不完全歸納；第四個問題則意在指向因果歸納，可能還有類比——加法和乘法的類比）

而在指導學生學習（乘法對加法的）分配律時，我們可以引導學生思考這樣一系列問題：（1）如何把“兩位數乘一位數”“三位數乘一位數”等的豎式計算轉換為橫式計算呢？（2）如何把“兩位數乘兩位數”“三位數乘兩位數”等的豎式計算轉換為橫式計算呢？（3）如何把“任何”乘法豎式計算轉化為橫式計算呢？（4）你能總結、概括出一般性的結論嗎？（其實，我們早就已經在運用分配律了）（5）為什么？（可以視教學的具體情況來確定先提出第四個問題還是第五個問題，第四個問題意在指向不完全歸納；第五個問題則意在指向因果歸納，可能還有類比——加法和乘法的類比，盡管這個類比在此處不成立，但那又是為什么呢？）

3.要有歸納或類比的運用：必要的躍遷。

當我們在總結、概括一般性結論時，其實就已經在運用歸納或類比了。如果所總結、概括出的“一般性結論”只局限于我們所列舉的大量實例（其實，這里只有完全歸納，或者“對應類比”），那么，我們就必須再次運用歸納或類比，把這“一般性結論”推廣到更為一般的情況。因此，這里就需要有一個“自我否定的再否定”的思維活動過程，即繼續追問：有反例嗎？再試驗，再觀察，反復多次，以致求反例而不得。所以，我們（此時或暫時）就可以提出諸“運算律”的猜想了。

即便我們總結、概括出的“一般性結論”已經超越了我們所列舉的大量實例，也還是需要有一個“求反例而不得”的“自我否定的再否定”的思維活動過程。這就是“科學的質疑精神”在數學猜想中具體而生動的體現。

此外，在“運算律”的教學中，教師還應在自己先弄明白“運算律和運算法則之間的關系”的基礎上，引導學生思考兩者之間的關系，以進一步理解運算的意義、運算的規律（即運算律）和運算的法則（即運算法則）三者之間的內在關系（譬如，就邏輯關系而言，這三者之間是什么蘊涵順序？就學習順序而言，這三者之間又是什么前后關系？這種邏輯關系和學習順序是否一致？無論一致與否，這種學習順序安排背后的道理是什么？），培養其數學的思維方式，進而逐步提升教師和學生的數學核心素養。