表達開平方的代數式

田載今

同學們已經知道，當n是正整數時，礦既表示乘方運算（即n個a相乘），又表示乘方的結果（即a的n次冪）.乘方是由底數a與指數n求冪的運算;開方是由冪與指數求底數的運算.乘方與開方互為逆運算.

一般地，形式為n√a的式子叫作n次根式，它表示對a開n次方，其中a叫作被開方式，n叫作根指數，當根指數n為2，3，4，…時，相應的n次根式分別叫作二次根式、三次根式、四次根式……各次根式統一簡稱為根式.

由上可知，在實數范圍內，形如√a（a≥0）的式子叫作二次根式，√a（a≥0）有兩重含義：它既表示對a進行開平方，并且取算術平方根的運算，又表示運算的結果，即a的算術平方根，因為任何數的平方都不會是負數，所以負數沒有平方根.√a中a≥0的條件必須被滿足.

一般地，凡涉及開平方運算的數學表達式，都離不開二次根式.彳艮多重要的公式也是二次根式的形式，例如同一平面上兩點間的距離公式，如圖1.在平面直角坐標系中，任意取兩點A（m，n）與B（p，q），則這兩點之間的距離為AB= √（m-p）2+（n-q）2.這是解析幾何中一個很常用的公式，由它還可以擴展到三維空間兩點間的距離公式，即空間中任取兩點A（m，n.s）與B（p，q，t），則它們之間的距離AB=√（m-p）2+（n—q）2+（s一t）2.這也是一個二次根式.

大家已經熟悉的運算有加、減、乘、除、乘方和開方，它們統稱為代數運算.表示字母或數的代數運算的式子，統稱為代數式.整式、分式和根式都屬于代數式，在整式和分式中，字母與數一樣可做加、減、乘（含乘方）、除四則運算，但不包括帶有字母的開方運算.根式表示開方運算，其中根號下可以含有字母.這樣的根式已經超出整式和分式的范疇.

二、二次根式的支運算

二次根式的加減運算，主要是合并同類二次根式（即根號內完全相同的根式，比如√3ab與5√3ab），為此通常要先把參與運算的二次根式化簡，發現其中的同類二次根式后再合并.

例3 一個物體從4 m高處自由下落著地.它下落過程中經過前Im和后3m所用的時間相同嗎？為什么？

（提示：從靜止開始的自由落體運動規律為h=1/2 gt2，其中h，t分別表示下落距離和下落所用的時間，g為重力加速度，是一個常數）

二次根式的乘除運算，類似于整式的乘除運算，兩者的運算律與公式基本通用.二次根式乘除運算中常運用二次根式的性質，

例4 兩個正方形的面積分別為S.與S2（SI>S2）.-個長方形的長和寬分別等于這兩個正方形的邊長之和與邊長之差.（1）求長方形的長寬比;（2）比較長方形與小正方形的面積的大小，

二次根式與同學們后面將要學習的勾股定理、一元二次方程和二次函數等有著密切的聯系，希望同學們學好它.