奇妙的“楊輝三角”

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如圖1.這是一個非凡的圖形.它刊載于七百多年前南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，人們稱之為“楊輝三角”.楊輝還在書中說，這個圖出自賈憲的《釋鎖》算書.但可惜的是，賈憲的書失傳了，在西方的數(shù)學(xué)史著作中，把這個圖形稱為“帕斯卡三角”，西方人認(rèn)為這個圖形是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）于1645年首創(chuàng)的，其實，在楊輝之后，中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰在其《四元玉鑒》（1303年）一書中還曾用過這個圖形.中亞細亞的阿爾·卡希于1427年、德國數(shù)學(xué)家阿卜亞魯斯于1527年也使用過這個圖形.但他們都比楊輝或賈憲要晚很長時間了.

一、“楊輝三角”的性質(zhì)

這個圖形有什么用處呢？“楊輝三角”的原名叫“開方作法本源圖”，是用來開方的，其原理至今仍然適用.我們知道，

所以，這個圖表示的是（a+b）n當(dāng)n=l，2，3，4，5，…時展開式的系數(shù).

下面，我們對“楊輝三角”的性質(zhì)初步歸納一下.

（1）對稱性：

每行中與首末兩項等距的兩個數(shù)相等;

（2）遞歸性：

1以外的任一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和;

（3）和冪性：

第n+l （n=0，1，2，3，…）行的各數(shù)之和等于2n.

借助于這些簡單性質(zhì)，可以解答與（a+b）n有關(guān)的問題.

例1 （a+b）²⁰的展開式中第三項的系數(shù)為（

）.

A.2017

B.2 016

C.191

D.190

解析：先探索規(guī)律.（a+b）³，的第三項的系數(shù)為3=1+2，（a+b）⁴的第三項的系數(shù)為6=1+2+3，（a+6）⁵的第三項的系數(shù)為10=1+2+3+4……不難發(fā)現(xiàn)，（a+b）²⁰的第三項的系數(shù)應(yīng)為l+2+3+…+19=（1+9）×19/2 =190.故選D.

二、“楊輝三解”的應(yīng)用

不少數(shù)學(xué)家對各個正整數(shù)在“楊輝三角”這個無限大的數(shù)陣中出現(xiàn)的次數(shù)抱有很大的興趣.人們發(fā)現(xiàn)，l出現(xiàn)了無數(shù)多次;2僅出現(xiàn)了1次;3，4，5這三個數(shù)都出現(xiàn)了2次;6出現(xiàn)了3次……還有一些較大的數(shù)，它們出現(xiàn)的次數(shù)更多.例如，120出現(xiàn)了6次，而3003出現(xiàn)了8次（先后出現(xiàn)在第15，16，79，3 004行）.人們自然會問，是否有大于l的正整數(shù)，在“楊輝三角”中出現(xiàn)的次數(shù)超過8呢？遺憾的是，到目前為止數(shù)學(xué)家們還沒有找到這樣的正整數(shù).1971年，英國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·辛馬斯特猜測，那些大于1的正整數(shù)在“楊輝三角”中出現(xiàn)的次數(shù)會有一個上限.這就是所謂的“辛馬斯特猜想”.

例2 已知圖2中每個小方格都是正方形.求從A到B的最短路徑

解析：我們從簡單的情形人手，對圖形中左上角的2x2網(wǎng)格進行分析后可知，每個結(jié)點的最短路徑數(shù)如圖3所示.把這個數(shù)陣旋轉(zhuǎn)一下，我們會驚訝地想起“楊輝三角”.因為其中每一個數(shù)字是它“肩上”的兩個數(shù)字之和.

于是，對這類問題可從“楊輝三角”的角度給出一個一般性的解法.將正方形網(wǎng)格的相鄰兩邊與“楊輝三角”的兩個都是l的斜行分別疊合，作平行四邊形，則平行四邊形另一個頂點所對應(yīng)的值就是所要求的最短路徑數(shù).易知從A到B的最短路徑有35種（如圖4）.

數(shù)學(xué)可以把看起來復(fù)雜的事物變得簡明，也可以把看似毫不相關(guān)的兩個事物巧妙地聯(lián)系在一起.隨著學(xué)習(xí)的深入，我們將會領(lǐng)略“楊輝三角”的更多的有趣性質(zhì).