最短路徑問題中的數學思想

王秋月 李惠莉

我們知道，找最短路徑是軸對稱知識的一個非常重要的應用.在解決圖形周長最值問題時，軸對稱的性質也可以起到重要的作用，但是，有些學生做題時對題意理解不清，不能從實際問題中抽象出數學模型，進而造成作圖困難.下面，我們就來探討最短路徑問題中利用軸對稱進行轉化的思路，并從中提煉出解題方法.

一、兩定點一條直線

1.兩點在一條直線的兩側.

例1 如圖1，A.B在直線Z的兩側.在Z上求作一點P，使得PA +PB最小，

解析：根據“兩點之間線段最短”，連接AB，線段AB與直線Z的交點P即為所要求作的點，如圖2.

2.兩點在一條直線的同側.

倒2 如圖3，A，B在直線Z的同一側，在l上求作一點P.使得PA +PB最小.

解析：如果利用轉化思想，把同側轉化為兩側，就能按照兩側找點的方法解決這個問題，如圖4，先作出點A關于直線lZ的對稱點A，對于Z上的點P.PA =PA，于是把PA+交BC的延長線于點F求證：∠B=∠ CA F.

證明：∵ EF垂直平分AD.

∴ AF=DF.

∴∠ADF=∠DAF

根據疊合三角形的性質，有

∠ADF+ ∠DA F=∠CA F+ ∠ACF.

即2∠ADF=∠ CAF+∠LA CF.

∵AD平分∠BAG.

∴∠BA C=2∠1，

∵ ∠ADF= ∠B+∠1.

∴2（∠B+∠1）=∠CAF+∠ACF.

①

又∵ ∠ACF= ∠B+∠BAC= ∠B+2∠1.

∴ 代人①有∠B=∠ CAF.PB最小的問題轉化為PA+PB最小的問題.再連接AB交直線Z于點P，根據“兩點之間線段最短”可知，點P即為所求.

二、一定點兩條直線

例3

如圖5，在四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°.在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN的周長最小.

解析：要使△AMN的周長最小，就是使A M+MN+AN最小，可以借助軸對稱對AM和AN進行轉化.如圖6，作A點關于BC和CD的對稱點A，A”，連接A'A”，交BC于點M，交CD于點Ⅳ，此時A'M=AM，A”N=AN.根據“兩點之間線段最短”，可以知道線段A'A''的長即為△AMN的周長的最小值.

三 建橋選址問題

例4 如圖7，A，B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，使從A到B的路徑A -M-N-B最短，橋的位置怎么確定？假定河的兩岸是平行直線，并且橋要與河岸垂直，

解析：因為河的寬度一定，也就是MN的長度是定值，所以只要AM+NB最小就行了.

可以進行問題的轉化，把它轉化為兩點一線異側問題，但需要把MN這條定長的線段移走.可以過A作河岸的垂線AH，在垂線上取AI等于河寬MN，問題轉化為求I，B兩點間的最短路徑，連接BI即可得出N點，作MN垂直于河岸交a邊于M點.當MN在如圖8所示的位置時.AM+MN+NB最小、路徑A-M-N-B最短，

四 差的最值

例5 如圖9，已知直線Z和位于直線Z兩側的點A，曰，其中點A到直線Z的距離大于點B到直線l的距離，求作直線Z上一點C，使AC-BC最大.

解析：如圖10，作點B關于直線Z的對稱點B，連接AB并延長，交直線l于點C，則點C即為所求.而對l上其他點C'.AC一BC=AC-B'C，根據“三角形任意兩邊之差小于第三邊”知AC-BC'