數學概念的結構化教學

繆亞紅

[摘要]揭示概念的本質是概念教學的核心。在小學數學概念教學的過程中，教師可以通過結構化手段，從橫向結構化、縱向結構化以及綜合結構化，讓學生多視角、多層次、多維度地理解概念。通過變與不變思想，引導學生排除無關信息，抓住本質特征，從而理解概念的內涵，完成對概念的結構化建構。

[關鍵詞]教學;概念;結構化

[中圖分類號]G623.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1007—9068（2019）32—0082—02

概念是數學的細胞，概念學習是學生數學學習的根基，直接關乎學生數學學習的品質。對于學生來說，掌握一個概念就是要理解概念的內涵、外延、特征、性質以及規律等。為了讓學生清晰地建構概念系統，我建議采用結構化教學方式，力圖讓學生多視角、多層次、多維度地理解概念，完成對概念的結構化建構。

一、橫向結構化：引導學生在多維表征中理解概念

皮亞杰認為：“全部的數學知識都可以從結構的建構來考慮，而且這種建構始終是完全開放的……這種結構或正在形成‘更強的結構，或再由‘更強的結構來予以結構化。”學生只有從多個角度來表征概念，才能掌握概念的本質。在小學數學概念教學中，我認為應改變概念表征的外在形式，通過變易——變與不變思想來引導學生在多維表征中理解概念。

在教學“分數的初步認識（一）”時，我先給學生提供了正方形的紙，讓學生用自己的方式表示這張紙的二分之一。學生有不同的表示方法，有學生涂色表示，有學生對折表示，還有學生在正方形內畫出一條直線，將圖形分成完全相同的兩份來表示。接著，我組織學生展開討論：為什么涂色、對折都可以表示這張紙的二分之一呢？除了這些涂色、對折的方法外，還有沒有其他的方法能表示這張紙的二分之一呢？這些問題引發了又一次深度探究和激烈爭辯。學生通過用多種方法對二分之一進行表征，對二分之一的本質有了深刻的認識。之后，我給學生提供了一些素材，包括一個圓形、一根一米長的繩子、一瓶果汁等等，讓學生描述這些物體的二分之一。豐富的素材不僅讓學生認識了二分之一，更讓學生明確了“怎樣得到二分之一”“得到了誰的二分之一”，為學生學習單位“1”的量奠定了堅實的基礎。

橫向結構化，讓學生從多個視角表征分數，包括同一素材的不同表征、不同素材的相同表征。多元概念表征給了學生充分比較、思考、交流、辨析的機會，從而實現了對分數概念的意義建構。由于學生在多元表征中建立了豐富的表象，因而對分數的理解就更為深刻。橫向結構化的多維表征，有助于學生的結構化思維由操作水平提升為分析水平，由具象走向抽象，由外延走向實質。

二、縱向結構化：引導學生在深層表征中理解概念

布魯納深刻地指出：“掌握事物的結構，就是允許別的東西與它有意義地聯系起來。簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的。”一個人對事物的表征方式通常有三種：直觀動作表征、具體形象表征和抽象邏輯表征。縱向結構化，就是引導學生從外在的直觀動作表征過渡到內在的符號意義表征，讓學生在深層表征中理解概念。

例如，在教學“認識線段”時，我引導學生用動作、形象、符號等不同方式認識線段的概念，幫助學生掌握線段的本質。首先，我讓一位學生玩溜溜球，引導學生觀察溜溜球的線的變化。學生發現，在球下落時，線被拉直，此時學生心中會建立“直直的線”的表象。接著，我動手操作，將一根彎彎的毛線拉直，多次移動捏住毛線兩端的手的位置，并讓學生指出線段是從哪兒到哪兒，從而幫助學生建立“端點”表象，認識到線段是“有長有短”“有限長”“可度量”的。在操作表征的基礎上，我用手捏住一根毛線并將它“請”到黑板上，然后用兩個磁鐵固定，讓學生用筆畫出毛線的長度，并思考：怎樣表示兩個磁鐵的位置？由此，學生在線的兩端畫出了兩個小圓點。再接著，我拿出一張紙，折出一道折痕，讓學生判斷折痕是否是一條線段。學生通過分析知道：折痕是直直的，有起點和終點，因此它是一條線段。同時學生深刻地認識到，手、磁鐵等都不是線段的一部分，它們的作用只是幫助我們表明線段起點和終點。最后，我要求全體學生閉上眼睛，想象線段的模樣。學生畫出長短不一的線段，在觀察線段后，學生抽象出線段的共同特征——線段是直直的，且有兩個端點。

從對線段的直觀動作表征到對線段的具體形象表征，再到對線段的抽象符號表征，學生穿行于具體、半抽象與抽象之間。各種表征之間緊密關聯，既有助于學生把握線段的本質，又有助于學生將線段形象化、具體化。如此教學，學生對概念本質的理解便水到渠成，數學學習自然能拾級而上。

三、綜合結構化：引導學生在關系表征中理解概念

教育心理學家奧蘇貝爾深刻地指出：“當學習材料本身具有邏輯意義，而學習者的認知結構中又具備適當的知識基礎，那么，這種學習材料對于學習者就構成了潛在的意義。”在概念教學中，教師要努力在數學概念與學生的概念學習之間建立聯系，從而助推學生理解概念。學習概念不僅僅依靠揭示概念本質的材料，還依靠概念之間相互依存的關系。只有在具有系統性、結構性的概念中探究，概念的本質才會更加敞亮。

綜合結構化，既包括橫向結構化，即對數學概念進行聚類揭示，又包括縱向結構化，即對數學概念進行分類揭示。綜合結構化能促進學生的概念同化，從而不斷優化學生的概念結構。例如，在教學“三角形的認識”時，其中難點就是三角形的高。根據課前調查，我發現許多學生認為自上而下、豎直的線段就是三角形的高。基于此，我先讓學生復習“點到直線的距離”，讓學生過直線外的一點作已知直線的垂線。然后，我借助多媒體課件，用各種變式（標準正例、非標準正例）將點到直線的垂線呈現出來。學生透過各種變式，能捕捉到互相垂直的本質——兩條直線相交成直角。如此，學生在畫銳角三角形的高時，就能分別從三個頂點作對邊的垂線。在此基礎上，我出示直角三角形、鈍角三角形，讓學生分別作它們的高。在后續教學平行四邊形、梯形的高時，我及時將三角形的高融入其中，如此，學生就能通過直線上的一點作垂線、過直線外的一點作垂線、過三角形的三個頂點作垂線、在平行四邊形兩條對邊之間作垂線以及在梯形的上底、下底之間作垂線。

數學概念之間是存在著千絲萬縷的聯系的，每一個數學概念都有共通性。通過概念的結構性關系，可以讓學生深化概念的本質。在概念教學中，教師不僅要提供正例，還應該提供反例，通過正例、反例變式、多維、多向變式，不斷完善學生的概念結構。

概念教學，基于學生的“生活化經驗”來提升學生的“結構性理解”。小學數學概念結構化教學，是以變與不變思想為手段的。在概念建構中，教師不僅要重視概念與學生生活的關系、概念與學生認知心理的關系，還要重視概念與概念之間的關系。學生對數學概念的理解是由淺入深、由經驗及本質、由表及里的，只有表征形式不斷變化，才能讓學生理解概念的本質，從而促進學生對概念的建構。

（責編 黃露）