非線性-線性聯合減震控制方法頻譜特性分析*

王菁菁， 劉志彬， 李浩博， 岳洪滔

(1.廣州大學土木工程學院 廣州，510006) (2.湖南工業大學土木工程學院 株洲，412000)

引 言

結構控制技術通過對控制裝置所依附的結構施加被動或主動的作用力，改變結構主體的剛度、質量和阻尼等，以達到減小能量輸入和加速能量消耗的目的[1-2]。目前，基礎隔震、TMD以及各類阻尼裝置[3]等結構控制技術已經被大量運用到實際工程之中。TMD是應用最為廣泛的被動控制技術之一，遠小于主體結構質量的TMD在運動過程中消耗大量能量[4-8]。為了使結構響應有效減低，TMD的自振頻率被調至與主體結構相近，但也因為如此，TMD只在較窄的頻率范圍內運作良好。在連續地震作用下控制結構TMD的魯棒性難以保持，減震效果相對減弱[9]。NES是一種新型的被動控制方法。非線性能量阱由一個質量或一組質量組成，通過阻尼單元和非線性的彈簧單元與主體結構相連，使其產生本質非線性的回復力，因此NES能夠在較寬頻帶發揮控制作用[10-12]。其中一型NES研究較多，在一型NES的現象學模型中，NES質量塊通過立方剛度的彈簧單元和黏滯阻尼單元與主體結構相連。通過對某2層結構模型分別附加一型NES和TMD在地震作用下的響應對比可知，當主體結構固有頻率發生變化時，NES仍表現卓越[13]，但同時一型NES減震性能容易受到初始能量的影響，在初始能量不同時減震效果差別較大。

為解決上述問題，筆者提出了將非線性和線性兩類控制方法聯合使用的結構控制方法，使一個或一組裝置同時具備TMD的線性特點和NES的非線性特點，在脈沖型荷載作用下，非線性-線性聯合的控制方法展現出較強的能量魯棒性和頻率魯棒性[14]。劉良坤等[15]對TMD與NES并聯的控制方法利用復變量平均法和多尺度法進行了分析，結果表明混合系統既拓寬了頻帶又降低了對初始能量的敏感性。

筆者在某8自由度主體結構模型上附加TMD、一型NES、單質量聯合阻尼器和雙質量聯合阻尼器4種控制裝置。首先在脈沖型荷載作用下進行參數優化，考察了各控制方法的能量魯棒性和頻率魯棒性。然后在7條實測地震作用下進行減震效果對比和分析，并根據地震反應譜和系統頻譜特性討論各類控制方法的減震性能差異。

1 非線性-線性聯合阻尼器

1.1 單質量聯合阻尼器

單質量聯合阻尼器(簡稱單聯)在附加質量運動正負方向分別采用非線性和線性回復力-位移關系，如圖1所示，是一種構造緊湊、占用空間相對較小的結構控制方法。單聯在正方向上遵循3次方回復力-位移關系，與一型NES相同；在負方向上遵循線性回復力-位移關系，與TMD相同，如圖2所示。

圖1 單質量(左)與雙質量(右)聯合阻尼器示意模型

圖2 單聯回復力-位移關系

單聯運動方程為

其中：ma為附加質量；Ca為附加質量的黏滯阻尼系數；kasN和kast分別為附加質量非線性和線性剛度系數；ua為附加質量相對于主體結構位移；xhost·abs為主體結構絕對位移。

1.2 雙質量聯合阻尼器

雙質量聯合阻尼器(簡稱雙聯)使用2個附加質量(見圖1)，包括1個非線性質量(即一型NES)和1個線性質量(即TMD)。兩者不直接接觸，同時與主體結構發生相互作用。

2個附加質量的運動方程分別為

(2)

(3)

其中：maT和maN分別為雙聯中TMD和NES的質量；caT和caN分別為TMD和NES的黏滯阻尼系數；kaN和kaT分別為TMD和NES的剛度系數；uaT和uaN分別為TMD和NES相對于主體結構的位移。

2 控制參數

2.1 優化條件

為考察所提出兩類聯合阻尼器的減振性能，筆者將單聯、雙聯以及用于對比的一型NES和TMD分別置于同一主體結構頂層，并采用相同優化方法對各質量阻尼器控制參數進行優化。優化在Matlab中通過建立Simulink模型進行。所采用主體結構為8層鋼框架結構[16]，首層高為3.9 m，其他層高為3.3 m。簡化為1個8自由度層串模型，使用State-space模塊模擬。各層質量為2.3×105kg，剛度為3.9×108N/m，模態阻尼比為0.02，前3階自振周期分別為0.83，0.29和0.17s。優化采用脈沖型荷載，通過設置初始運動條件施加，使各質量(包括主體結構和控制裝置)具有0.25 m/s的初始速度。優化目標為使各控制系統中主體結構頂層位移10 s內均方根達到最小值。當控制裝置附加質量越大時，其減振效果越顯著，但考慮到實際結構中空間和裝置體量的限制，控制裝置質量均取為主體結構質量的3%，即5.52×104kg。各控制裝置采用相同大小黏滯阻尼，參考TMD最優阻尼計算方法[17]，為9×104(N·s)/m。

2.2 優化結果

單聯待優化參數為線性和非線性剛度系數，通過依次計算不同線性與非線性剛度系數組合下的結構響應(頂層位移均方根)進行選擇。優化結果如圖3所示，最優線性和非線性剛度系數分別為1.34×106N/m和1×109N/m3(圖中圓點所示)。

圖3 單聯剛度優化結果

雙聯中總附加質量為5.52×104kg，線性和非線性質量各占50%，兩質量阻尼特性相同，因此每個質量的黏滯阻尼系數均為4.5×104(N·s)/m，總和為9×104(N·s)/m。待優化參數為線性質量和非線性質量的剛度系數，優化結果見圖4，最優線性質量和非線性質量剛度系數分別為3×106N/m和5×108N/m3(圖中圓點所示)。

一型NES和TMD各有1個待優化參數，為各自剛度系數。優化后一型NES的剛度系數為3×108N/m3，TMD剛度系數為3×106N/m。

圖4 雙聯剛度優化結果

3 脈沖型響應分析

3.1 能量魯棒性

圖5對比了在優化脈沖型荷載(其初始速度為0.25m/s)作用下無控系統、TMD系統、一型NES系統、單聯系統以及雙聯系統的頂層位移響應。通過對比可知，4類質量阻尼器經過優化后具有極強的減振性能，在4個周期內(約3s)可將位移降至其最大值的1/4以下，四者控制能力相當。

圖5同時考察當減小和增大脈沖型荷載時及主體結構基本頻率降低25%時各控制裝置的減振效果，即對輸入能量大小變化和頻率變化的魯棒性。當作為激勵的初始速度降至0.12 m/s時，TMD系統和雙聯系統減振性能與優化荷載時相比幾乎沒有變化，其中TMD系統為完全線性系統，響應變化和減振比例不受荷載大小影響。而一型NES系統與單聯系統控制性能明顯退化，其中一型NES由于非線性更強，對輸入能量依賴更大，響應也較單聯系統更大。考慮到荷載減小時，無控系統本身響應很小，且一型NES和單聯仍具備一定的減振能力，不會對結構安全造成過大影響。當初始速度升至0.5 m/s時，可以觀察到與0.12 m/s初始速度時相似的情況，不同的是，此時一型NES系統和單聯系統響應在約5 s時已減至與TMD系統和雙聯系統相近的水平，且此后響應僅存在微小幅值的振動。

圖5 原頻率和變頻率系統在不同初始速度時頂層位移

3.2 頻率魯棒性

降低主體結構頻率可用于模擬結構因發生破壞剛度下降所導致結構特性的變化[18]。當主體結構基本頻率降低25%時，TMD與主體結構不再調諧，不能有效形成共振機制而導致控制能力退化。可觀察到，在3種初始速度作用下，TMD系統響應接近無控系統，在4種方法中控制性能最弱。當初始速度為0.25和0.5 m/s時，一型NES減振能力最強，這是由于輸入能量使附加質量產生足夠的回復力，此時控制裝置的非線性越強越能適應主體結構頻率的變化。而在0.12 m/s初始速度作用下，非線性程度越大的質量阻尼器等效線性剛度越小，產生的回復力也遠小于線性程度更大的質量阻尼器，因此一型NES系統的響應大于兩類聯合阻尼器系統的響應。在兩類聯合阻尼器中，單聯較雙聯控制能力更強，結合主體結構頻率無變化時的響應可知，兩者中單聯更接近一型NES，頻率魯棒性更強，雙聯更接近TMD，能量魯棒性更強。

4 地震響應分析

為考察各類質量阻尼器在地震作用下的控制性能，筆者對Pacific Earthquake Engineering Research Center(PEER)網站[19]下載的7條實測地震波作用下的結構響應進行了分析，表1列出了7條地震記錄的特性，地震峰值加速度(peak ground acceleration，簡稱PGA)范圍為0.47 m/s2(1號)至2.34m/s2(7號)。地震加速度的大小對應輸入結構的能量大小，各控制裝置在不同峰值加速度地震作用下的減震性能可在一定程度上反映其能量魯棒性。同時，考慮到各地震波頻率成分各異，主體結構頻率的輕微變化有可能激發地震響應的巨大改變，因此筆者還對主體結構頻率下降25%時各系統的減震性能，即頻率魯棒性進行了考察。表1同時列出了各地震作用下無控系統在原頻率時和頻率下降25%時的頂層位移峰值。

表1 地震記錄特性及無控系統響應

Tab.1 Earthquake properties and responses of uncontrolled system

編號地震PEER編號持時/sPGA/(m·s-2)無控系統/mm原頻率75%頻率1KernRSN13_KERN_PAS18077.250.4727.4339.712KernRSN13_KERN_PAS27077.350.5254.2447.553KernRSN12_KERN_PEL_PEL18070.000.5835.2959.084LomaprietaRSN736_LOMAP_A0922739.051.0350.20129.735TabasRSN138_TABAS_BOS-L135.001.0362.6250.596LomaprietaRSN737_LOMAP_AGW00060.001.6640.9166.907LomaprietaRSN739_LOMAP_AND34039.752.3455.0761.55

圖6繪制了原頻率時各控制系統與無控系統頂層位移峰值和均方根的比值。如圖所示，在主體結構頻率保持不變時，各控制裝置均可達到較好的減震效果，其中3號、7號2條地震作用下，各控制系統與無控系統的響應比值均在0.6以下，減震效果顯著。4種控制方法中，一型NES由于非線性最強，能量魯棒性較差，在能量各異的地震作用下減震性能較其他方法較弱。當不考慮一型NES系統時，除以上提到的2條地震外，TMD系統、單聯系統和雙聯系統還在1號、2號、5號和6號等4條地震作用下響應均方根比值小于0.6或略超過0.6。兩類聯合控制方法響應峰值與TMD接近，在大多數地震作用下減震性能與TMD相當。

圖6 原頻率系統在地震作用下頂層位移峰值(左)與均方根(右)比值

圖7 3號和4號地震作用下各系統的頂層位移

圖7顯示了3號和4號地震作用下各系統的頂層位移響應時程。由于地震持時較長，前后段結構響應微小，圖中時程只截取了響應顯著的時間區間。對應圖6可知，4號地震作用下各控制方法減震性能接近，3號地震作用下TMD系統和雙聯系統響應明顯小于一型NES系統和單聯系統。這種差異可以通過輸入能量大小進行解釋，由優化荷載作用下各系統位移響應(圖5)可知，無控系統頂層位移峰值約為0.05 m，4號地震作用下，無控系統頂層位移峰值與之接近，即此時輸入能量適中，帶有非線性的控制方法減震性能與線性控制方法相當。而3號地震作用下，無控系統頂層位移峰值遠小于優化時的響應峰值，非線性較強的控制方法，尤其是一型NES的等效線性剛度與主體結構剛度相差較大，無法有效形成共振機制，減震性能不如線性控制方法。

圖8顯示了7條地震作用下，當主體結構頻率下降25%時TMD系統、一型NES系統、單聯系統和雙聯系統與無控系統的頂層位移峰值比值和均方根比值。此時減震性能的整體趨勢表現為TMD在所有控制方法中退化最為嚴重，除4號、5號、6號地震作用下TMD系統均方根響應與其他控制系統接近以外，在剩余的4條地震作用下，TMD系統的均方根響應明顯大于其他控制系統響應，甚至超過對能量最為敏感的一型NES系統，原因為TMD與頻率下降的主體結構不再調諧，控制性能顯著減弱。綜合原頻率和變頻率時的結構響應可知，同時具有線性和非線性特點的單聯和雙聯較TMD和一型NES能夠更好地兼顧輸入能量和主體結構頻率的變化，通過脈沖型荷載優化得到的控制裝置在地震作用下亦展現出優越的減震性能。

圖8 變頻率系統在地震作用下頂層位移峰值(左)與均方根(右)比值

5 頻譜分析

5.1 地震反應譜分類

由地震響應可以看出，不同地震作用下各控制方法的減震性能存在差異，對于同一種控制方法，減震效果也存在較大區別。通過分析圖6中原頻率時各控制系統的響應比值得到，TMD在大多數地震作用下減震效果優于具有非線性特點的控制裝置，尤其是完全非線性的一型NES，這是由于TMD的線性特點使其控制性能不受響應大小的限制。但在6號和7號地震作用下，一型NES和兩類聯合質量阻尼器系統的響應峰值均小于TMD系統。圖9根據這一特點繪制了在結構自振頻率附近的地震位移反應譜，反應譜圖中同時還對無控系統的第1階自振頻率(1.176 6 Hz，圖中粗實線)和TMD系統的第1、第2階自振頻率(1.056 9 Hz和1.336 2 Hz，圖中粗虛線)進行了標注。主體結構附加質量后自由度增加，原第1階頻率變為原頻率上下的2階頻率，高階頻率變化不明顯。對于完全非線性的一型NES和具有部分非線性的兩類聯合質量阻尼器，由于自振頻率可變，附加裝置后結構的第1、第2階頻率變化介于無控系統和TMD系統頻率之間。圖9(a)中繪制了以上提到的2條地震(帶有非線性的質量阻尼器減震性能較好)的位移反應譜，反應譜呈現斜坡特點，無控系統第1階頻率處響應明顯小于TMD系統第1階頻率處響應。圖9(b)繪制了除此之外的5條地震(TMD減震性能較好)的位移反應譜，反應譜呈一字型，在所示頻率范圍內響應變化較平緩。繪制時對反應譜進行了歸一化處理，即增大或縮小各反應譜使其均值為1，以便更清楚地觀察各條地震的頻譜規律。

圖9 斜坡型及一字型地震位移反應譜

5.2 頻率成分分析

上述地震反應譜與不同控制方法減震性能之間的規律可通過對位移響應做頻率成分分解進行解釋。將整個頻譜劃分為3個部分：小于1.1 Hz(第1部分)、1.1～1.25 Hz(第2部分)和大于1.25 Hz(第3部分)，各部分頻譜劃分標注于圖10中。無控系統第1階頻率屬于第2部分，TMD系統第1、第2階頻率分別屬于第1和第3部分。圖10對優化脈沖型荷載作用下原頻率時各系統的頂層位移響應按3個部分頻率范圍進行分解，并選擇耗能效率最高的2.5～5 s進行對比。無控系統以其第1階頻率振動，因此可觀察到第2部分頻率成分顯著大于第1、第3部分。TMD系統與無控系統相比第1、第3部分頻率成分增加，與其第1、第2階自振頻率對應。帶有非線性的控制系統中，第2部分頻率成分最多，第1部分頻率成分較小，且非線性程度越高(如一型NES)第1部分頻率成分越小，單聯系統的頻率成分分布更接近一型NES系統，雙聯系統更接近TMD系統。根據各部分頻率成分對總響應的貢獻可知，在各控制系統中，線性系統的響應大小主要依賴于第1和第3部分地震反應譜的大小，非線性系統的響應大小主要依賴于第2和第3部分地震反應譜的大小。對于圖10所示的斜坡型反應譜，第1部分頻率范圍對應的位移響應大于第2部分，因此TMD系統響應大于非線性控制系統；而對于圖10所示的一字型反應譜，各部分頻率范圍對應的位移響應差別較小，此時地震作用的輸入能量大小是影響各控制方法減震性能的主要因素。

圖10 各系統位移響應頻率成分

圖11為各系統結構響應在無控系統第1階頻率附近的小波變換圖。小波變換圖中陰影深淺對應振動的大小，各控制系統小波陰影明顯淺于無控系統，即振動顯著小于無控系統。圖11還對無控系統第1階頻率和TMD系統第1、第2階頻率位置進行了標注。無控系統與TMD系統為線性系統，小波圖中所示振動主要集中在各自自振頻率處。一型NES系統為完全非線性系統，振動無明顯固定頻率，部分集中于無控系統第1階頻率處，且向高頻區域延伸。單聯系統與一型NES系統接近，但低頻區域振動略大于一型NES系統。雙聯系統中可以觀察到2個頻率處的振動，其中較高頻振動介于無控系統第1階頻率和TMD系統第2階頻率之間，是振動的主要成分。通過小波變換可驗證響應頻率成分分析所得到的結果，即非線性-線性聯合的控制方法使系統振動頻率介于TMD系統和一型NES系統之間，單聯和雙聯兼備非線性和線性控制方法的特點。

圖11 各系統結構響應小波變換

6 結 論

1) 將非線性和線性結構控制方法相結合，得到了單質量聯合阻尼器和雙質量聯合阻尼器兩類聯合控制方法。通過脈沖型荷載優化得到的各控制裝置在7條實測地震作用下同樣能夠有效減小結構響應。綜合輸入能量大小和主體結構頻率變化兩方面因素，兩類聯合質量阻尼器較完全線性和完全非線性的控制方法減震性能更加優越。

2) 通過對地震位移反應譜、響應頻率成分和小波變換分析可知，當地震反應譜在系統振動頻率附近呈斜坡型時，TMD的減震效果相對非線性控制方法較差。此時應優先選擇帶有非線性的控制方法，尤其是兼備頻率魯棒性和能量魯棒性的單質量聯合阻尼器和雙質量聯合阻尼器兩類聯合控制方法。