不確定性陶瓷熱防護系統的雙隨機動態理論*

黃 杰， 姚衛星， 陳 炎,3， 孔 斌,3

(1. 南京航空航天大學飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室 南京，210016)

(2. 南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

(3.中國航空工業集團公司成都飛機設計研究所 成都，610091)

引 言

高超聲速飛行器如X-37B空天飛機在再入大氣層階段會受到巨大的氣動加熱作用[1-3]，為保證飛行器的安全性，需要在飛行器表面設計TPS[4-6]，其中陶瓷防熱瓦是再入飛行器應用最廣泛的防熱結構，其通過SIP黏接于飛行器蒙皮。TPS除了在再入大氣層階段抵御外部氣動加熱外，還會受到各種動態機械載荷的作用，最典型的為防熱瓦外表面的聲壓激勵和來自蒙皮振動的機體基礎激勵[7]。防熱瓦和SIP在機械載荷的作用下將產生動態應力，動態應力過大會導致SIP發生破壞，防熱瓦將與飛行器蒙皮分離，高超聲速飛行器將發生災難性的事故。因此發，研究防熱瓦和SIP的動態響應具有重要的學術和工程價值。

在以往的研究中，TPS的動態響應主要是通過試驗方法進行研究。文獻[8-9]研究了正弦激勵和隨機激勵作用下防熱瓦和SIP的動態響應。文獻[10-11]研究了SIP非線性剛度特性和黏性效應對防熱瓦和SIP動態響應的影響。除了以上試驗研究方法以外，一些學者通過理論方法研究了防熱瓦/SIP的動態特性。George等[12]提出了TPS在聲壓激勵和機體加速度激勵作用下的單自由度動態特性理論模型，將防熱瓦視為剛性體的一個質量點，將SIP視為線性剛度的彈簧和阻尼單元，并且假設聲壓激勵和機體加速度激勵功率譜密度(power spectral density, 簡稱PSD)函數均為限帶白噪聲，最后通過理論解預測了TPS隨機動態響應。以上試驗及理論的方法對TPS動態響應進行了研究，但未考慮TPS參數的隨機性對TPS動態特性的影響，即未進行TPS動態特性的不確定性分析；而防熱瓦和SIP的剛度、質量及阻尼特性常常表現出明顯的不確定性，不考慮其不確定性影響必然會造成TPS動態特性分析結果的不準確。

為了研究TPS不確定性動態特性以及SIP不確定性動強度問題，筆者將防熱瓦視為剛性體的質量點，將SIP簡化為線性剛度的彈簧和阻尼單元，并且將防熱瓦的質量及SIP的剛度和阻尼特性均考慮為隨機參數，且服從正態分布，提出了在聲壓和機體加速度基礎激勵作用下的不確定TPS雙隨機動態理論模型，推導了防熱瓦的加速度響應以及SIP動態應力響應的概率分布，研究了響應均值對隨機參數的靈敏度，最后對比了所提出的理論模型的解與Monte Carlo數值解，驗證了本研究不確定理論模型的正確性與分析精度。

1 熱防護系統振動環境

筆者研究TPS的動態響應，根據文獻[7]可知TPS承受的外部動態激勵包括防熱瓦外表面聲壓激勵和來自蒙皮振動的機體基礎激勵，且這兩種激勵均為隨機載荷，如圖1所示。防熱瓦外表面的聲壓激勵來自于湍流邊界層，其PSD函數通常為限帶白噪聲[13]。機體基礎激勵來自于發動機傳遞的荷載及非定常氣動力引起的機體結構振動，且在試驗中通常測量蒙皮的加速度信號。機體加速度基礎激勵的PSD函數通常為階梯譜，圖2給出了典型的譜型。在外部激勵已知后，TPS的動態響應分析實際上為隨機振動分析。

圖1 TPS動態載荷來源

圖2 典型基礎加速度PSD函數

2 熱防護系統動態理論模型

由于SIP剛度遠小于防熱瓦剛度[8-11]，故在建立TPS動力學理論模型時將防熱瓦簡化為剛性體，而將SIP簡化為彈性體，構成了單自由度系統。SIP在不同環境下具有線性與非線性彈性本構，筆者僅考慮SIP的線彈性本構。由于TPS尺寸較小，寬度大概在50～200mm之間，可近似認為防熱瓦外表面的聲壓激勵均勻分布，機體對TPS底部的加速度激勵也是均勻的。在建立TPS非線性動力學理論模型時作如下假設：

1) 系統進行平穩隨機振動，且激勵服從Gauss隨機過程；

2) 將防熱瓦簡化為質量點以描述防熱瓦的慣性力；

3) 將SIP簡化為質量點、線性彈簧和阻尼器，分別描述SIP的慣性力、彈性力和阻尼力；

4) 聲壓激勵和加速度基礎激勵均勻地作用于防熱瓦外表面和TPS底部。

圖3 TPS動態理論模型

由以上假設可得到在聲壓激勵和加速度基礎激勵作用下的TPS單自由度系統運動方程分別為

(1)

(2)

3 熱防護系統不確定性動態分析

(3)

(4)

第k個隨機參數ηk和響應uk可分解為均值與零均值隨機分量

(5)

(6)

(7)

其中：m=3,為TPS隨機參數的個數。

(8)

響應的協方差函數可以表示為

(9)

將式(8)帶入式(9)可得

(10)

考慮式(5)，則式(10)可改寫為

(11)

由式(11)可知，響應的協方差函數可由TPS隨機參數的協方差函數Cov(ηk,ηq)來表達

Cov(ηk,ηq)=ρkqσηkσηq

(12)

其中：ρkq為隨機參數ηk和ηq之間的相關系數；σηk和σηq為隨機參數的標準差。

利用式(12)，將式(11)寫成矩陣的形式,得

(13)

(14)

(15)

假設TPS隨機參數相互獨立

(16)

由式(13)和式(16)可得隨機參數相互獨立時的響應協方差函數為

(17)

針對某一響應v，式(17)可以簡化為

(18)

針對第k個隨機參數單獨作用的情況，式(18)可以簡化為

(19)

響應的變異系數可通過其均值和協方差求得

(20)

(21)

4 熱防護系統動態響應均值

(22)

令外載荷F(t)=eiωt和位移響應z(t)=H(ω)eiωt，并將其代入式(22)即可得系統的位移頻率響應函數H(ω)

(23)

根據隨機振動理論可得防熱瓦的位移、速度及加速度PSD響應函數為

(24)

(25)

(26)

將以上響應的PSD函數在頻域下積分，即可得防熱瓦的位移、速度和加速度均方值

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

其中：S為SIP面積。

5 算例參數

筆者進行了不確定性陶瓷熱防護系統的雙隨機動態響應算例分析，其中防熱瓦和SIP的寬度W、厚度h、密度ρ及結構阻尼系數g如表1所示。SIP的彈性模量為1.46MPa，根據SIP的厚度和面積計算得到彈簧剛度系數k為6.317 3kN/mm，根據防熱瓦和SIP的密度和體積計算得到TPS的總質量m為0.578 8kg。此外聲壓激勵的PSD函數Sf(ω)為限帶白噪聲，其在頻域范圍20～2 000Hz內保持400N2/Hz不變，本研究采用圖2中機體加速度基礎激勵的PSD函數。

表1 TPS參數

由于圖3中的阻尼特性是由黏性阻尼系數c表征的，故需將結構阻尼系數g轉換為黏性阻尼系數c，其表達式為

c=gmωn

(32)

其中：ωn為單自由度系統的固有頻率。

根據式(32)計算得到SIP的黏性阻尼系數c為76.487 3(N·s)/m。

6 響應均值的靈敏度分析

進行不確定性TPS動態分析之前需要進行式(21)中的響應均值對隨機參數的靈敏度分析。系統質量、剛度系數和阻尼系數的均值及變異系數如表2所示，其中所有隨機參數的變異系數均為0.03。

表2 隨機參數的均值和變異系數

Tab.2 The mean values and variation coefficients of random parameters

ηkm/kgk/(kN·mm-1)c/((N·s)·m-1) ηk0.578 86.317 376.487 3η′k0.030 00.030 00.030 0

筆者采用差分法進行靈敏度分析，差分格式為

(33)

其中：Δηk為差分步長。

式(33)采用具有2階精度的中心差分格式代替原有的偏導數，需要確定合適的差分步長Δηk以保證差分精度。

本研究的差分步長表示為隨機參數標準差的倍數關系，如式(34)所示，其中系數λ取0.1，1和10，進行了3種不同差分步長下響應均值對隨機參數的靈敏度分析

(34)

表3 聲壓激勵下的靈敏度分析結果

表4 基礎激勵下的靈敏度分析結果

7 響應概率分布及Monte Carlo數值驗證

利用表3和表4中差分步長Δηk=σηk對應的靈敏度分析結果即可進行防熱瓦/SIP系統的響應概率分布分析。此外，為了驗證本研究的理論分析結果的合理性，進行了Monte Carlo數值計算，其分析流程如圖4所示，具體步驟為：

1) 篩選隨機變量(隨機參數)，并指定隨機變量的概率分布；

2) 設置模擬的最大仿真次數N(本研究設置為104次)；

3) 生成均勻分布的隨機數序列，并將其轉化為相應的隨機變量值；

4) 調用計算程序對當前隨機參數值的響應進行計算；

5) 重復步驟3～5，直至模擬最大次數N或均值和標準差收斂，結束循環；

6) 對響應值進行統計分析(均值、標準差、范圍和分布形狀)。

圖4 Monte Carlo數值分析流程

利用以上靈敏度分析結果和式(19)，進行了單個隨機參數情況下的防熱瓦/SIP系統的響應概率分布分析。表5和表6分別列出了聲壓激勵和加速度基礎激勵作用下防熱瓦加速度和SIP應力的均值和標準差分析結果，其中A代表理論分析結果，B代表Monte Carlo數值計算結果。可以發現響應的均值和標準差的理論分析結果與Monte Carlo數值計算結果吻合得很好，相對誤差控制在1.5%以內。

表5 聲壓激勵情況下單隨機參數的概率分析結果

Tab.5 The probability analysis results under acoustic excitation

概率分布響應方法mkc uk φ¨x/(103m·s-2)A5.165.165.16B5.175.165.17 φs/105PaA1.331.331.33B1.331.331.33u′kσ¨x/(m·s-2)A15470.5971.78B15471.3471.76σs/PaA75.171 9101 840B75.301 9401 840

表6 基礎激勵情況下單隨機參數的概率分析結果

Tab.6 The probability analysis results under base excitation for single random parameter

概率分布響應方法mkc uk φ¨x/(103m·s-2)A3.153.153.15B3.153.143.15 φs/104PaA8.098.098.09B8.098.108.09u′kσ¨x/(m·s-2)A0.022 547.2347.23B0.022 547.1847.53σs/103PaA2.431.211.21B2.431.211.22

圖5和圖6分別為Monte Carlo數值方法計算得到的在聲壓激勵和加速度基礎激勵作用下防熱瓦的加速度以及SIP應力的概率分布圖。從圖中可觀察到，所有響應的概率分析均趨近于正態分布，這是由于本研究的隨機參數和載荷均服從正態分布，且防熱瓦/SIP為線性系統，響應理論上必定服從正態分布。

圖5 聲壓激勵下Monte Carlo數值模擬響應概率分布

圖6 基礎激勵下Monte Carlo數值模擬響應概率分布

根據式(18)和式(19)，考慮所有隨機參數的情況下，響應的方差為單個隨機參數情況下求得的方差之和。表7列出了考慮所有隨機參數時在聲壓激勵和加速度基礎激勵作用下響應的均值和標準差分析結果，其中A代表理論分析結果，B代表Monte Carlo數值計算結果。可以發現防熱瓦的加速度響應以及SIP應力響應的均值和標準差的理論分析結果與Monte Carlo數值計算結果吻合得很好，相對誤差控制在1.5%以內。

表7 所有隨機參數情況下的概率分析結果

Tab.7 The probability analysis results for all random parameters

概率分布響應聲壓/基礎數值 uk φ¨x1/(103m·s-2)AB5.16/3.155.17/3.15 φs/104PaAB13.3/8.0913.3/8.10u′kφ¨x1/(m·s-2)AB184/66.79185/65.82σs/103PaAB2.66/2.972.65/2.93

8 結 論

1) 將防熱瓦假設為剛性體，簡化為質量點，將SIP假設為彈性體，簡化為線性彈簧和阻尼單元，假設以上質量點、剛度和阻尼服從正態分布，提出了在外界隨機激勵作用下的不確定性TPS雙隨機動態理論模型。

2) 采用攝動法研究了防熱瓦加速度響應以及SIP應力響應的概率分布，得出其關鍵問題是進行響應均值對TPS隨機參數的靈敏度分析。

3) 進行了算例分析，本研究理論方法獲得的響應概率分布和Monte Carlo數值計算結果吻合得很好，從而驗證了所提出的不確定性TPS雙隨機動態理論模型的正確和分析精度。

4) 本研究工作為防熱瓦不確定性加速度特性、SIP不確定性動強度和TPS不確定性動態完整性分析提供了理論依據。