基于Duffing van-der-pol系統(tǒng)幾何特征的材料非線性特征量化*

柏 林， 李兆昕， 劉小峰

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400044)

引 言

在超聲無損檢測領(lǐng)域，由于Lamb波在缺陷形成的非均勻介質(zhì)環(huán)境中傳播時，其參數(shù)的變化能反映缺陷特征，因此常用于檢測板結(jié)構(gòu)的裂紋和疲勞損傷。傳統(tǒng)Lamb波技術(shù)只能檢測裂紋尺寸大于波長的缺陷，對早期的微小裂紋和疲勞損傷的敏感性不足[1]。非線性Lamb波技術(shù)對早期損傷十分敏感，缺陷引起的二次諧波信號中包含了大量的缺陷信息，二次諧波的幅值、相位等可以反映出缺陷的尺寸、材料非線性等特征[2-3]。但在實(shí)際運(yùn)用中，早期損傷引起的二次諧波信號十分微弱，常被噪聲所掩蓋而造成漏檢和失真，因此提高對二次諧波的檢測能力和精度至關(guān)重要。

鑒于混沌振子系統(tǒng)具有對微弱信號敏感且對噪聲免疫的特性，其在Lamb波檢測技術(shù)中的應(yīng)用已初見成效。張偉偉等[4]采用Duffing系統(tǒng)結(jié)合二分法識別仿真導(dǎo)波的發(fā)生時刻，但只局限于導(dǎo)波無法識別的缺陷。武靜等[5]利用Duffing-Holmes混沌系統(tǒng)以及Lyapunov指數(shù)檢測缺陷反射波實(shí)現(xiàn)了缺陷識別，雖然定義了損傷指數(shù)，但無法定量分析二次諧波幅值和缺陷尺寸。Jiao等[6]采用非線性Lamb波的模態(tài)分析對金屬板結(jié)構(gòu)缺陷實(shí)現(xiàn)定量分析，但無法對材料非線性的量化。劉海波等[7]提出了基于Duffing振子逆向相變的正弦信號檢測方法，但該方法在量化調(diào)制信號時仍然存在局限性且抗噪性能有限。

1 Duffing van-der-pol系統(tǒng)動力學(xué)特性

Duffing van-der-pol方程不僅包括Duffing方程的三次非線性恢復(fù)力，還有van-der-pol振子方程維持自激振動的非線性項(xiàng)。Duffing van-der-pol系統(tǒng)表示如下

(1)

其中：α為線性系數(shù)；β為非線性系數(shù)；δ為阻尼系數(shù)；F為系統(tǒng)內(nèi)部策動力振幅；θ為角頻率；t為時間；x為自變量(無量綱)。

當(dāng)θ=1以及α，β，δ確定且系統(tǒng)為臨界混沌狀態(tài)時，系統(tǒng)狀態(tài)對周期信號十分敏感，即使信號很微弱也可以使系統(tǒng)由混沌轉(zhuǎn)換為大尺度周期狀態(tài)。為了使Duffing van-der-pol系統(tǒng)對任意頻率具有普適性，需要對系統(tǒng)進(jìn)行時間尺度線性變換。令t=ωτ，并輸入待測信號s(τ)=Acos(ωτ) +n(τ)，其中n(τ)為隨機(jī)噪聲，將原系統(tǒng)方程換元求導(dǎo)后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于待測信號時間τ的系統(tǒng)方程，即

ω2(Fcosωτ+s(τ))

(2)

其中：τ為時間。

系統(tǒng)經(jīng)過時間尺度變換后，在不改變系統(tǒng)參數(shù)和初始條件的情況下可以檢測任意頻率的諧波信號。

2 基于相軌跡的平均周期面積幾何特征指數(shù)

由于Duffing van-der-pol系統(tǒng)不存在精確的解析解，因此策動力大小將影響數(shù)值解，使系統(tǒng)處于不同狀態(tài)。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)處于大尺度周期狀態(tài)時，策動力的微小變化也會直接反映在系統(tǒng)的輸出響應(yīng)中。如圖1所示，在不同幅值的外加策動力激勵下，系統(tǒng)解的幅值出現(xiàn)明顯偏差。

圖1 平均周期面積示意圖

文獻(xiàn)[10]指出，策動力幅值變化與系統(tǒng)解的平均周期面積之間存在近似單調(diào)的線性關(guān)系，因此筆者將系統(tǒng)解的平均周期面積作為相軌跡的幾何特征參數(shù)。利用4階Runge-Kutta法求解系統(tǒng)方程后，計(jì)算圖1中曲邊梯形單元面積如下

(3)

其中：xi為輸出在i時刻的值；Δt為系統(tǒng)解序列的時間間隔，即為梯形的高。

為使平均周期面積隨系統(tǒng)解的變化更明顯，對ΔS分類并取模

(4)

(5)

其中：k為周期個數(shù)。

3 基于平均周期面積的二次諧波幅值估計(jì)

(6)

(7)

(8)

(9)

二次諧波幅值定量分析具體步驟如下：

1) 根據(jù)Lamb波的激發(fā)頻率及采樣頻率設(shè)置Duffing van-der-pol系統(tǒng)的檢測頻率ω和系統(tǒng)求解時步長Δt，并進(jìn)行時間尺度線性變換；

2) 改變系統(tǒng)策動力并繪制系統(tǒng)分岔圖，根據(jù)分岔圖確定系統(tǒng)臨界混沌狀態(tài)的策動力F；

3) 截取實(shí)測Lamb波波包，由于信號時長極短且波包邊緣存在擾動，對波包漢寧加窗后周期延拓；

4) 由于二次諧波相比基波信號幅值相差幾個數(shù)量級，因此使用高通濾波器濾除基波信號；

6) 對延時后的信號乘以ε∈[2, 4, 6, … , 240]的比例系數(shù)，并使用Runge-Kutta法求解系統(tǒng)方程，相軌跡若進(jìn)入大周期則二次諧波存在；

9) 由步驟7和步驟8得到的擬合關(guān)系，并根據(jù)式(9)計(jì)算得到A2，即可表示二次諧波的幅值。

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖2所示，激發(fā)裝置產(chǎn)生的Lamb波在非線性金屬材料中傳播一定距離后被接收，Ritec SNAP系統(tǒng)RAM-5000生成中心頻率為0.28 MHz的非線性Lamb激勵信號。實(shí)驗(yàn)材料為1.5 mm×630 mm×2 500 mm的鋁板，無約束平行放置在海綿塊上。換能器發(fā)生的脈沖群被放大后進(jìn)入楔形樹脂玻璃塊，縱波通過楔形塊邊緣折射后傳遞至鋁板，形成S0模態(tài)Lamb波。S1和A1模態(tài)能激發(fā)二次諧波累積[11]，根據(jù)近幾年研究成果，S0模態(tài)也可形成二次諧波累加效應(yīng)[12]。傳遞700 mm后由PZT傳感器接收，并由RAM-5000采集輸出至計(jì)算機(jī)，通過分析輸出信號的頻率成分，得到基波和二次諧波的幅值，并量化分析材料的非線性特征。

圖2 Lamb波實(shí)驗(yàn)測試平臺

4.2 Duffing van-der-pol系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

圖3 Duffing van-der-pol系統(tǒng)分岔圖

此時，輸入微弱信號可引起系統(tǒng)由臨界混沌轉(zhuǎn)變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)，因此該系統(tǒng)對微弱信號具有較好的敏感性，可作為二次諧波定性分析時系統(tǒng)參數(shù)F。

4.3 實(shí)測信號處理及二次諧波定性分析

截取實(shí)測信號中Lamb波波包作為分析對象，二次諧波的幅值相比激勵信號十分微弱，相差約80倍。所以在測量過程中，若存在微弱的噪聲干擾，二次諧波就會失真，并影響到材料非線性特征分析的準(zhǔn)確性。為了模擬受到噪聲干擾的情況，在原信號中加入標(biāo)準(zhǔn)差為4×10-4V的白噪聲，如圖4所示。觀察頻譜可知，原始信號的二次諧波幅值A(chǔ)2=3.278×10-5V，加入噪聲后為4.554×10-5V。二次諧波已經(jīng)被噪聲淹沒，原本在0.56 MHz處的峰值發(fā)生漂移，幅值失真嚴(yán)重。

圖5 不同系統(tǒng)狀態(tài)的相軌跡

在100個周期的時長內(nèi)求解系統(tǒng)，為了判斷系統(tǒng)何時進(jìn)入大周期狀態(tài)，選取X(t)序列每個周期的極大值組成一個序列，如圖6所示。從第40個周期以后，每個周期的極大值趨于穩(wěn)定并保持大于0.78，因此將X=0.78設(shè)定為判別進(jìn)入穩(wěn)定大周期的閾值。為了避開混沌狀態(tài)向大周期的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上再向后延長3個周期，從第43個周期開始向后截取50個周期相軌跡計(jì)算平均周期面積。

圖6 X(t)在每個周期的極大值

4.4 基于平均周期面積非線性指數(shù)分析

圖7 系統(tǒng)策動力F與擬合關(guān)系

(10)

圖與延時τ擬合關(guān)系 圖與比例系數(shù)ε的擬合關(guān)系

表1 不同算法計(jì)算二次諧波幅值對比

Tab.1 Comparisons of second harmonic calculated by different methods

算法二次諧波幅值/ 10-5 V二次諧波幅值誤差/%非線性系數(shù)β非線性系數(shù)誤差/%原始信號3.278—6.597—加噪信號4.55438.939.30341.01小波降噪3.85517.607.92420.11卡爾曼濾波4.91950.069.58745.31混沌幾何特征法3.2261.596.5750.33

5 結(jié)束語