模態辨識中隨機減量技術的實用改進*

陳太聰， 沈文杰

(1. 華南理工大學亞熱帶建筑科學國家重點實驗室 廣州，510641)

(2. 華南理工大學土木與交通學院 廣州，510641)

引 言

在工程結構的健康監測實踐中，結構模態參數識別是關鍵工作之一。針對環境激勵下的結構工作模態辨識問題，人們已發展了多種分析方法。其中，Cole[1]提出了從系統平穩隨機響應中提取自由振動衰減歷程的隨機減量技術(random decrement technique，簡稱RDT)。由于RDT計算量小，處理速度快，應用成本低，易于在線實現，因此在工程實踐中得到了廣泛應用[2-3]。

傳統RDT主要通過位移或速度響應數據來獲取結構自由振動衰減響應曲線[4]，繼而可采用基于自由振動響應的Ibrahim時域方法[5](Ibrahim time domain method，簡稱ITD)進行模態辨識。工程實踐中針對加速度響應的測量較為常見，此時RDT所得的加速度特征信號存在奇異值[6]，與自由振動衰減響應曲線不符，若直接用于ITD將會導致結構模態參數的有偏估計和結果異常[7]，影響RDT的實用性。近年來有學者針對基于加速度響應的隨機減量技術開展研究，如：Huang[8]結合自回歸模型(auto regression，簡稱AR)時域算法；Ku等[9]結合頻響函數(frequency response function，簡稱FRF)頻域算法；Areemit等[10]結合特征系統實現(eigensystem realization algorithm，簡稱ERA)時域算法，都可以較好地求解模態參數，但結合ITD的時域算法研究仍較為少見。此外，在多自由度系統的模態辨識實踐中，無論采用何種響應數據，由于識別算法和測量噪聲的影響，常常得到復模態結果。此時對于經典阻尼結構，需要從識別所得復模態中提取結構實模態，而傳統的模數方法[11]和最大關聯度法[12]仍不具有廣泛的適用性。

針對傳統RDT+ITD方法在工程結構工作模態分析實踐中存在的問題，筆者開展相關研究，以實現基于不同響應數據的RDT+ITD用于一般多自由度系統的模態辨識，改善辨識效果。首先，針對隨機減量加速度特征信號存在的奇異值問題，提出加速度特征信號截斷方法，探討有效的截斷比例取值，截斷后可直接應用于ITD進行模態辨識；其次，針對多自由度結構模態辨識中的復模態結果，提出最小距離法用于經典阻尼結構的實模態提取，并在響應數據適應性和抗噪性兩方面，與傳統的模數方法和最大關聯度法進行對比；最后，通過3自由度結構算例和桁架模型實驗，對所提方法進行驗證。

1 RDT+ITD模態辨識基本原理

1.1 隨機減量特征信號的構造

RDT處理是將隨機響應過程轉化為隨機減量特征信號的過程。對于平穩隨機過程X(t)和Y(t)，隨機減量特征信號定義為在一定條件T下隨機過程的一個均值。該信號的數學表達可描述為

δYX(τ)=E[Y(t+τ)|TX(t)]

(1)

其中：δYX(τ)的第1個下標Y表示均值來源的隨機過程；第2個下標X表示條件T來源的隨機過程。

在RDT的實際應用中，測試所得的結構動態響應時程只是隨機過程的一個樣本實現過程，因此，在假設隨機過程是平穩且遍歷的前提下，隨機減量特征信號可表達為該樣本過程的條件均值

(2)

式(2)中的觸發條件T可以有多種形式，包括水平穿越觸發、零穿越觸發、極值點觸發和隨機采樣觸發等。以常用的水平穿越觸發條件為例，隨機減量特征信號由下式計算

(3)

對于多自由度系統，RDT處理[13]如下：選取1個測點的響應通道作為參考通道，對該響應通道做單自由度系統下的RDT處理，即截取若干個子信號段進行總體平均；同時記錄下每個子信號段截取的時刻，根據這些時刻對其他測點的響應通道作相同的總體平均處理，從而得到每個測點的隨機減量特征信號。

1.2 基于自由振動衰減信號的模態辨識

ITD方法的基本計算原理可概括如下。

在等時距測量情況下，第t時刻的結構自由振動觀測響應X(t)可由觀測模態ψr疊加表達為

(4)

其中：ωr為結構固有頻率；μr=exp(ωrΔt)。

若構造兩組觀測矩陣

(5)

(6)

則結合式(4)可得

D=ΦΛ

(7)

(8)

其中

(9)

由式(7)及式(8)消去Λ后，可得

(10)

令

(11)

則由式(10)可知

A=ΦΩΦ-1

(12)

(13)

其中

(14)

在求得μr和Φ后，結構系統的第r階固有頻率ωr和阻尼比ζr可分別確定為

ωr=|lnμr|/Δt

(15)

(16)

2 實用改進技術

2.1 隨機減量加速度特征信號截斷

若外激勵是零均值的平穩高斯白噪聲，則由水平穿越觸發條件構造得到的隨機減量特征信號，與隨機響應相關函數RYX(τ)之間有如下對應關系[6]

δYX(τ)=RYX(τ)x0/RYX(0)

(17)

以單自由系統為考察對象，將平穩隨機振動理論的隨機響應相關函數表達式[14]代入式(17)中，可以解得具體的位移、速度和加速度響應對應的隨機減量特征信號表達式分別為

(18)

(19)

(20)

其中：ωn和ωd分別為系統無阻尼和有阻尼自振頻率；ζ為系統阻尼比；δ(τ)為狄拉克函數。

通過與以下自由振動衰減響應的對比

(21)

(22)

(23)

可以發現，對于位移和速度響應，隨機減量特征信號等價于具有特定初始條件的自由振動響應；但對于加速度響應，隨機減量特征信號與自由振動響應有所區別，其在τ=0處存在一個奇異值。

在多自由度結構的隨機減量應用中，文獻[6]已證明，隨機減量加速度特征信號同樣存在τ=0處的奇異值，其大小取決于隨機激勵的相關函數和結構的質量陣，因此該奇異值被應用于多維隨機激勵間的時延相關性檢查以及結構集中質量陣的判定。

在結構模態辨識中，Ku等[7]的研究表明，隨機減量加速度特征信號的奇異值會產生不利的影響，可能導致有偏估計和結果異常。為了降低該奇異值的影響，有研究在后續采用結合AR模型[8]、FRF[9]及ERA[10]等無需嚴格要求信號的自由振動性質的識別算法，意即對于隨機減量加速度特征信號的初始奇異值不敏感，均可以獲得良好的模態辨識效果。

筆者通過多個數值算例和模型實驗的結果分析，綜合考慮誤差影響和數據完整性，使用1/200～1/50作為加速度特征信號的截斷比例，即重設隨機減量加速度特征信號總時程的1/200～1/50處時刻為起始時刻，可有效保證模態識別精度。

2.2 經典阻尼結構實模態提取

對于多自由度經典阻尼結構系統，識別算法和測量噪聲往往導致識別得到的結構自振模態為復模態形式，而非實模態。ITD方法中的擴大模型法[15]可用于從識別復模態中提取實模態，但該方法的處理過程較為復雜，不易應用。出于實際應用的目的，多名學者提出了不同方法，其中以傳統模數法和最大關聯度法較為常用。

傳統模數法取識別復模態φC的模作為實模態φR的大小，其符號由{φC}的實部所決定[11]

φR=sgn[Re(φC)]⊙|φC|

(24)

其中：sgn(·)為符號函數。

該方法較適用于小阻尼結構，此時的復模態相位角偏離0°或180°,約在10°以內[16]。

最大關聯度法由Ahmadian等[12]給出了一般形式，應用也較為廣泛[3, 17]。實模態φR由復模態φC旋轉得到

(25)

式(25)中的轉角θ通過最大化復模態φC與實模態φR之間的關聯度獲得，即由

(26)

可解得轉角θ滿足條件

(27)

雖然上述兩種方法的思路清晰，操作簡單，但實際計算表明，兩者仍不具有廣泛的適用性。基于最小距離的思想，筆者提出一種新的轉換方法，在復平面中使原復模態與轉換實模態之間的距離最短，即尋找實模態φR和轉角θ以使達到以下指標

(28)

令式(28)中的性能函數對φR和θ的1階導數分別等于零，最終可解得

(29)

(30)

對比式(30)和式(25)可見，最小距離法與最大關聯度法有一定程度的相似性，但由式(29)可推導得到，在應用最小距離法時

(31)

3 數值算例

為了驗證本研究方法用于模態參數辨識的效果，取1個3自由度結構模型用于算例分析。結構運動方程為

考慮基底白噪聲激勵，在每一個自由度上均設置測點，整個結構共3個測點?；诘葧r間步長0.02s，采用Newmark-β數值積分法計算得到各測點的位移、速度和加速度響應，取進入穩態階段后的90 000個時間步用于分析，即總時長為1 800s，并在位移、速度和加速度響應的模擬輸出上均疊加3種不同水平(0%，10%，20%)的噪聲作為觀測響應。

分別對位移、速度和加速度觀測響應進行相應RDT處理，獲得對應的自由振動衰減信號。其中，選擇第3自由度響應作為參考通道，選擇1.5倍的響應數據標準差作為水平穿越觸發條件，疊加長度為1 500單位步長，并選擇1/200作為隨機減量加速度特征信號的截斷比例。后續采用ITD方法和3種實模態提取方法辨識結構的模態參數。

不同響應數據和不同噪聲水平下結構所有3階模態參數的識別結果如表1～表3所示，包括模態頻率、頻率識別誤差、模態阻尼比、各階識別模態與理論模態的置信度(modal assurance criterion，簡稱MAC)等。由表可得出以下結果。

1) 在無測試噪聲的情況下，無論基于何種響應，均能夠較好地識別出3個階次的頻率和模態，但阻尼比的識別精度相對較低。隨著測試噪聲不斷增大，識別能力逐漸減弱。其中：采用速度響應對各階次模態參數的識別效果較好；采用位移響應則是有利于低階模態參數的識別；采用加速度響應有利于高階模態參數的識別。該特點與白噪聲激勵下的位移、速度、加速度響應的頻譜圖分布規律相符。

2) 結構實模態識別中，在3種響應下，最小距離法和最大關聯度法均顯示出了比傳統模數法更良好的辨識效果，但在高噪聲的部分情況下，最大關聯度法會失效，此時最小距離法仍能得到高精度的辨識結果，抗噪性能好。

為了驗證本研究所提隨機減量加速度特征信號截斷方法的有效性，以及所提截斷比例的可行性，取不同的截斷比例(0，1/500～1/2)，對比分析相應的模態辨識結果。圖1所示為未進行截斷的隨機減量加速度特征信號(此處僅列出第3自由度響應的結果，其他自由度的情況類似)。根據不同截斷比例處理后的結構模態辨識結果如表4所示，其中采用最小距離法提取實模態。

表1 RDT+ITD識別結果(噪聲水平為0%)

表2 RDT+ITD識別結果(噪聲水平為10%)

表3 RDT+ITD識別結果(噪聲水平為20%)

圖1 不同噪聲水平下第3加速度響應通道的隨機減量特征信號

表4 不同截取比例下基于加速度響應的模態識別結果

由圖1和表4所示結果可得：

1)τ=0附近的數據與后續數據差異較大，若不進行截斷，則僅能識別得到第3階模態，對第1階和第2階的有偏估計導致模態遺漏；

2) 過小的截斷比例(<1/200)會導致模態參數的識別精度降低，過大的截斷比例(>1/50)不僅使識別精度降低，還會導致模態遺漏；

3) 選擇1/200～1/50的截斷比例較能保證辨識結果的可靠性。

4 模型實驗

為驗證本研究方法用于實際結構模態辨識的效果，進行了桁架結構模型實驗，模型如圖2所示，測點編號如圖3所示。在底層9號節點處施加豎向白噪聲激勵，進行7批次振動實驗，每次測試4個測點的豎向加速度響應。其中：4號測點為多次觀測的參考點；第1批測點為1～4；第2批測點為4～7；第3批測點為4，8，10和11；第4批測點為4，12～14；第5批測點為4，15～17；第6批測點為4，18～20；第7批測點為4，20～22。

分別對采集到的7批次4通道加速度響應數據進行模態辨識處理，依次將每一通道作為參考通道進行RDT處理，選擇1/200作為隨機減量加速度特征信號的截斷比例，采用最小距離法進行結構實模態提取，最終可以得到28組模態信息。在此基礎上，通過與有限元模型分析得到頻率及振型對比，可確定6階有效模態，見表5。所得結果進一步驗證了針對加速度響應數據的隨機減量特征信號截斷方法以及針對實模態提取的最小距離法的有效性。

圖2 桁架結構模型

圖3 底層平面上加速度傳感器的布置

為了驗證所提的加速度特征信號截斷比例的有效性，以第1批測試為例，取第3通道為參考通道進行RDT處理，對這組數據進行不同截斷比例下的模態辨識，結果見表6。所得結果再次驗證了選擇1/200～1/50的截斷比例用于模態辨識的可靠性。

表5 桁架結構模型的模態識別結果

表6 不同截斷比例下桁架結構的模態識別結果

Tab.6 Modal identification results of truss model with different truncation ratio

截斷比例頻率誤差/%MAC第4階第7階第9階第4階第7階第9階0——————1/5002.40.1-8.60.9980.9640.9961/2001.90.2-8.71.0000.9740.9981/1001.80.1-8.71.0000.9720.9971/501.6-0.1-8.61.0000.9680.9951/102.80.3-8.70.9970.9640.9971/5—0.3-8.6—0.9750.9941/2—1.9——0.973—

5 結束語

針對傳統RDT+ITD方法在工程結構工作模態分析中的應用問題，提出了隨機減量加速度特征信號的截斷方法，以及由識別復模態提取經典阻尼結構實模態的最小距離法，改進了基于不同響應數據的RDT+ITD用于一般多自由度系統的模態辨識效果。在對隨機減量加速度特征信號進行截斷時，推薦截斷比例取值1/200～1/50。在提取實模態時，相對于傳統模數法和最大關聯度法，最小距離法對響應數據類型的適應性更強，抗噪能力更優。本研究改進方法原理簡單，易于實現，可方便應用于工程振動測試實踐。