統(tǒng)計問題常見考題例析

■胡 彬

統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在歷年高考中占有重要地位,題型多以解答題為主。下面對這類題型舉例分析。

例1某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì),將這些學(xué)生編號為1,2,…,1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測驗(yàn)。若48號學(xué)生被抽到,則下面4名學(xué)生中被抽到的是( )。

A.9號學(xué)生 B.207號學(xué)生

C.718號學(xué)生 D.815號學(xué)生

解：由系統(tǒng)抽樣可知,第1組學(xué)生的編號為1到10,第2組學(xué)生的編號為11到20,…,最后一組學(xué)生的編號為991到1000。設(shè)第1組抽到的學(xué)生編號為x,則第2組抽到的學(xué)生編號為x+10,以此類推,可知所抽取的學(xué)生編號為10的倍數(shù)加x。因?yàn)?8號學(xué)生被抽到,所以x=8,由此可知718號學(xué)生被抽到。應(yīng)選C。

評注：解決系統(tǒng)抽樣的兩個關(guān)鍵點(diǎn)是：①分組的方法應(yīng)由抽取比例而定;②起始編號確定后,其他編號隨之確定。

例2某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖1所示。

圖1

(1)求直方圖中x的值。

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)。

(3)月平均用電量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?

解：(1)由已知可得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075。

(2)由頻率分布直方圖可知,面積最大的小矩形對應(yīng)的月平均用電量所在的區(qū)間為,所以月平均用電量的眾數(shù)的估計值為230。

因?yàn)?0×(0.002+0.0095+0.011)=0.45＜0.5,20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125)=0.7＞0.5,所以中位數(shù)在區(qū)間[220,240)內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為m,則20×(0.002+0.0095+0.011)+0.0125×(m-220)=0.5,解得m=224,所以月平均用電量的中位數(shù)的估計值為224。

(3)由頻率分布直方圖可知,月平均用電量在[220,240)的用戶數(shù)為(240-220)×0.0125×100=25。

同理可得,月平均用電量在[240,260),[260,280),[280,300)的用戶數(shù)分別為15,10,5。

由題意可知,用分層抽樣方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取的用戶數(shù)為

評注：本題主要考查頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用問題。