2019年高考統計問題常見考點聚焦

■李 傳

2019年高考對統計的考查主要是圍繞“抽樣方法,頻率分布直方圖,樣本的數字特征,統計與概率的交匯”等核心考點展開的,重點考查同學們應用統計知識解決實際問題的核心素養。下面以2019年高考試題為載體進行全方位考點聚焦,希望對同學們的學習有所幫助。

聚焦1：三種抽樣方法的區別與聯系

例1(2019年高考全國卷)某學校為了解1000名新生的身體素質,將這些學生編號為1,2,…,1000,從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗,若46號學生被抽到,則下面4名學生中被抽到的是( )。

A.8號學生 B.200號學生

C.616號學生 D.815號學生

解：運用等距離抽樣寫出通項,逐個驗證。將1000名學生分成100組,每組10名學生,利用系統抽樣法,若46號學生被抽到,則第1組抽到6號,且每組抽到的學生號間隔為10,即抽取的所有號碼為10n+6(n∈N*)。若8=6+10n,則n=0.2,不合題意;若200=6+10n,則n=19.4,不合題意;若616=6+10n,則n=60,符合題意;若815=6+10n,則n=80.9,不合題意。應選C。

素養：簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣這三種抽樣凸顯“隨機、等距離和按比例”的特征,在抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等,它們之間又相互聯系,對抽取的樣本來說,可謂異曲同工。解題時,應結合三種抽樣方法的特點,靈活選擇抽樣方法抽取所需樣本。

聚焦2：樣本的數字特征

例2(2019年高考全國卷)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成績時,從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比,不變的數字特征是( )。

A.中位數 B.平均數

C.方差 D.極差

解：設9位評委的評分按從小到大排列為x1＜x2＜x3＜x4…＜x8＜x9。9個評分的中位數為x5,去掉最低分x1、最高分x9后,剩余評分為x2＜x3＜x4…＜x8,中位數仍為x5,A正確。由平均數的定義,可知平均數受極端值影響較大,B不正確。由方差公式可知,兩個方差不相等,C不正確。9個評分的極差為x9-x1,7個評分的極差為x8-x2,顯然極差變小,D不正確。應選A。

素養：平均數與方差都是重要的數字特征,是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義,平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢,方差和標準差描述其波動大小。當平均數相同時,再考察方差進行問題決策。

聚焦3：統計圖表與數字特征的交匯問題

例3(2019年高考全國卷)某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產情況,隨機調查了100個企業,得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表,如表1所示。

表1

(1)分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例,產值負增長的企業比例。

(2)求這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)。(精確到0.01)

解：(1)由題意可知,隨機調查的100個企業中增長率超過40%的企業有14+7=21(個),產值負增長的企業有2個,所以增長率超過40%的企業比例為,產值負增長的企業比例為

素養：本題以統計圖表為載體,主要考查同學們獲取信息、處理信息的能力以及綜合運算的核心素養。

聚焦4：統計與概率的綜合應用

例4(2019年高考北京卷)改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變。近年來,移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人,發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如表2所示。

表2

(1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數。

(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2000元的概率。

(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化。現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發現他本月的支付金額大于2000元。結合(2)的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由。

解：(1)利用頻率是概率的近似值求滿足題意的人數。

由題意可知,樣本中僅使用A的學生有27+3=30(人),僅使用B的學生有24+1=25(人),A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人。故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100-30-25-5=40(人)。由此可知,估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數為×1000=400。

(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于2000元”,則所求概率P(C)=0.04。

(3)由(2)可知,支付金額大于2000元的概率為0.04。

因為從僅使用B的學生中隨機抽查1人,發現他本月的支付金額大于2000元,依據小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發生的,所以可以認為僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化,且比上個月多。

素養：借助頻率和概率之間的關系確定人數,借助小概率事件進行決策,凸顯統計與概率的應用性。小概率事件一般不容易發生,一旦發生,就有理由認為發生了變化。