統計問題中常見的典型考題賞析

2019-12-31 06:53:00謝紅霞

中學生數理化·高一版 2019年12期

■謝紅霞

題型一：簡單隨機抽樣

抽簽法適用于總體中個體數較少的情況,隨機數法適用于總體中個體數較多的情況。一個抽樣試驗能否用抽簽法,關鍵看兩點：一是抽簽是否方便,二是號簽是否易攪勻。一般地,當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法。

例1完成下列兩項調查：①從某社區125戶高收入家庭,280戶中等收入家庭,95戶低收入家庭中選出100戶,調查社會購買能力的某項指標;②從某中學的15名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況。宜采用的抽樣方法依次是( )。

A.①簡單隨機抽樣,②系統抽樣

B.①分層抽樣,②簡單隨機抽樣

C.①系統抽樣,②分層抽樣

D.①②都用分層抽樣

解：因為社會購買能力的某項指標受到家庭收入的影響,而社區中各個家庭收入差別明顯,所以①用分層抽樣法。從某中學的15名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況,個體之間差別不大,且總體和樣本容量較小,②用簡單隨機抽樣法。

應選B。

跟蹤練習1：某方便面生產線上每隔15min抽取一包進行檢驗,該抽樣方法為①,從某中學的40名數學愛好者中抽取5人了解學習負擔情況,該抽樣方法為②,那么①和②分別為( )。

A.①系統抽樣,②分層抽樣

B.①分層抽樣,②系統抽樣

C.①系統抽樣,②簡單隨機抽樣

D.①分層抽樣,②簡單隨機抽樣

提示：由隨機抽樣的特征可知,①為等距抽樣,也就是系統抽樣;②為簡單隨機抽樣。

應選C。

題型二：系統抽樣

例2將參加夏令營的600名學生編號為001,002,…,600。采用系統抽樣方法抽取一個容量為50的樣本,且隨機抽取的號碼為003。這600名學生分住在三個營區,從001到300在第Ⅰ營區,從301到495在第Ⅱ營區,從496到600在第Ⅲ營區,三個營區被抽中的人數依次為( )。

A.26,16,8 B.25,17,8

C.25,16,9 D.24,17,9

解：由題意及系統抽樣的定義可知,將這600名學生按編號依次分成50組,每組各有12名學生,第k(k∈N*)組抽中的號碼是3+12(k-1)。

應選B。

跟蹤練習2：總體由編號為01,02,03,…,49,50的50個個體組成,利用隨機數表1(以下摘取了隨機數表中第1行和第2行)選取5個個體,選取方法是從隨機數表第1行的第9列和第10列數字開始由左向右讀取,則選出來的第4個個體的編號為( )。

表1

A.05 B.09

C.11 D.20

提示：從隨機數表第1行的第9列和第10列數字開始,依次是14,05,11,09,則第四個數字是09。

應選B。

題型三：分層抽樣

依據各層的個體數與樣本數之比,確定抽樣比;由某層個體數(或樣本數)確定該層的樣本數(或總體數);依據題意,求出各層的抽樣比,再求出各層的樣本數。

1.求總體個數或樣本容量

例3某校有高級教師26人,中級教師104人,其他教師若干人。為了解該校教師的工資收入情況,按分層抽樣從該校的所有教師中抽取56人進行調查,已知從其他教師中共抽取了16人,則該校共有教師人。

解：設該校其他教師有x人,則,可得x=52。故全校教師共有26+104+52=182(人)。

跟蹤練習3：某工廠生產甲,乙,丙三種型號的產品,產品數量之比為3∶5∶7,現用分層抽樣方法抽取容量為n的樣本,其中甲種產品有18件,則樣本容量n等于( )。

A.54 B.90

C.45 D.126

提示：依題意可得,解得n=90,即樣本容量為90。

應選B。

2.求某層入樣的個體數

例4某中學高一年級有560人,高二年級有540人,高三年級有520人,現用分層抽樣的方法抽取容量為81的樣本,則在高一,高二,高三這三個年級抽取的人數分別為( )。

A.28,27,26 B.28,26,24

C.26,27,28 D.27,26,25

解：根據題意可得,分層抽樣的抽樣比為則在高一年級抽取的人數是在高二年級抽取的人數是在高三年級抽取的人數是

應選A。

跟蹤練習4：某單位有老年人27人,中年人54人,青年人81人,為了調查他們的身體狀況的某項指標,需從他們中間抽取一個容量為42的樣本,則分別應抽取老年人,中年人,青年人的人數是( )。

A.7,11,18

B.6,12,18

C.6,13,17

D.7,14,21

提示：因為該單位共有人數為27+54+81=162,樣本容量為42,所以應按的抽樣比分別從老年人,中年人,青年人中抽取樣本,則分別抽取的人數是7,14,21。

應選D。

題型四：統計圖表及應用

準確理解頻率分布直方圖的數據特點,頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果,不要誤認為縱軸上的數據是各組的頻率,不要和條形圖混淆;頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1;利用頻率分布直方圖可估計總體分布。

例5為了調查某校學生體質健康達標情況,現采用隨機抽樣的方法從該校抽取了m名學生進行體育測試。根據體育測試得到了這m名學生的各項平均成績(滿足100分),按照以下區間分為7組：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到頻率分布直方圖,如圖1所示。已知測試平均成績在區間[30,60)內有20人。

圖1

(1)求m的值及中位數n。

(2)若該校學生測試平均成績小于n,則學校應適當增加體育活動時間。根據以上抽樣調查數據,該校是否需要增加體育活動時間?

解：(1)由頻率分布直方圖可知,第1組,第2組和第3組的頻率分別是0.02,0.02和0.06,則m×(0.02+0.02+0.06)=20,解得m=200。

由頻率分布直方圖可知,前四組的頻率為0.32,第5組的頻率為0.4,所以中位數n位于[70,80)內,則0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5,解得n=74.5。

(2)設第i(i=1,2,3,4,5,6,7)組的頻率和頻數分別為pi和xi。由頻率分布直方圖可知p1=0.02,p2=0.02,p3=0.06,p4=0.22,p5=0.4,p6=0.18,p7=0.1。由xi=200×pi,可得x1=4,x2=4,x3=12,x4=44,x5=80,x6=36,x7=20,故該校學生測試平均成績為×(35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7)=74＜74.5,由此可知該校應該適當增加體育活動時間。

跟蹤練習5：近年來高校招生改革的呼聲越來越高,在贊成高校招生改革的市民中按年齡分組,得到的樣本數據的頻率分布直方圖如圖2所示,其中年齡在區間[30,40)內的有2500人,在區間[20,30)內的有1200人,則m的值為( )。

圖2

A.0.013 B.0.13

C.0.012 D.0.12

提示：由題意可得,年齡在區間[30,40)內的頻率為0.025×10=0.25,則贊成高校招生改革的市民人數為=10000。因為年齡在區間[20,30)內的有1200人,所以m=

應選C。

題型五：樣本的數字特征

平均數和方差都是重要的數字特征,是對總體的一種簡明的闡述。平均數,中位數,眾數描述總體的集中趨勢,方差和標準差描述波動大小。平均數,方差公式的推廣：若數據x1,x2,…,xn的平均數為,方差為s2,則數據mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數為m,方差為m2s2。

例6某選手的7個得分去掉1個最高分,去掉1個最低分,剩余5個得分的平均數為91,如圖3,該選手的7個得分的莖葉圖中有一個數據模糊,無法辨認,在圖中用x表示,則剩余5個得分的方差為( )。

圖3

解：由莖葉圖可知,最低分為87分,最高分為99分。

應選C。

跟蹤練習6：若數據x1,x2,x3,…,xn的平均數為=5,方差s2=2,則數據3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均數和方差分別為( )。

A.5,2 B.16,2

C.16,18 D.16,9

提示：由x1,x2,x3,…,xn的平均數為5,可得所以16。由x1,x2,x3,…,xn的方差為2,可得3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的方差是32×2=18。

應選C。

題型六：相關關系的判斷

判斷變量之間有無相關關系,一種簡便可行的方法就是繪制散點圖,根據散點圖很容易看出兩個變量之間是否具有相關性,是否存在線性相關關系,是正相關還是負相關,相關關系是強還是弱。判定兩個變量正、負相關性的三種常用方法：①利用散點圖,點的分布從左下角到右上角,兩個變量正相關,點的分布從左上角到右下角,兩個變量負相關。②利用相關系數,當r＞0時,正相關,當r＜0時,負相關。③利用線性回歸方程,當b＞0時,正相關,當b＜0時,負相關。

例7當變量x的取值為3,4,5,6,7時,變量y對應的值依次分別為4,2.5,-0.5,-1,-2;當變量u的取值為1,2,3,4時,變量v對應的值依次分別為2,3,4,6。則變量x和y,變量u和v的相關關系是( )。

A.變量x和y是正相關,變量u和v是正相關

B.變量x和y是正相關,變量u和v是負相關

C.變量x和y是負相關,變量u和v是負相關

D.變量x和y是負相關,變量u和v是正相關

解：變量x增加,變量y減少,所以變量x和y是負相關。變量u增加,變量v增加,所以變量u和v是正相關。

應選D。

跟蹤練習7：某中學的興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的6組數據繪制成散點圖如圖4所示,則下列說法錯誤的是( )。