估算帶“[]”無(wú)理數(shù)的值

何德海

利用計(jì)算器得出含根號(hào)無(wú)理數(shù)近似值的方法相信大家都掌握了，但如果我們手頭沒(méi)有計(jì)算器或不允許使用計(jì)算器時(shí)，該如何估算它們的近似值或大致范圍呢？下面結(jié)合有關(guān)題目談?wù)剮А癧]”無(wú)理數(shù)的值的估算方法。

一、采用夾逼法

例1 （2018·臺(tái)州）估計(jì)[7]+1的值在（? ? ? ?）。

A.2和3之間 B.3和4之間

C.4和5之間 D.5和6之間

解：∵22=4，32=9，∴[4]=2，[9]=3，

又∵4<7<9，∴[4<7<9]。

即[2<7<3]，∴[3<7+1<4]。

故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查估算無(wú)理數(shù)[7]的整數(shù)部分。采用“夾逼法”，利用“若a、b都為正數(shù)，且a>b，則[a>b]”的結(jié)論，可以得出[7]的整數(shù)部分。本題對(duì)[7]的近似值要求不高，運(yùn)用一次“夾逼法”，即可求解。

例2 填空：[7≈]? ? ? ? ?（精確到十分位）。

解：∵2=[4<7<9=3]，∴無(wú)理數(shù)[7]的值介于2和3之間，即[7]的整數(shù)部分為2。

又∵2.62=6.76，2.72=7.29，∴2.6[<7][<2.7]。又∵2.642=6.9696，2.652=7.0225，∴2.64[<7][<2.65]。∴[7]的百分位上的數(shù)為4，根據(jù)四舍五入法則，[7≈]2.6（精確到十分位）。

點(diǎn)評(píng)：本題仍然是估算無(wú)理數(shù)[7]的值，但要求精確到十分位，精度要求高了，需要多次運(yùn)用“夾逼法”。用此種方法，先確定整數(shù)位，再確定十分位、百分位等，多次運(yùn)用還可以求出更加精確的值。此種方法，也適用于其他帶根號(hào)無(wú)理數(shù)的估值。

二、利用數(shù)軸上的點(diǎn)

例3 （2019·武威）下列整數(shù)中，與[10]最接近的整數(shù)是（? ? ? ?）。

A.3 B.4 C.5 D.6

分析：本題除了運(yùn)用例1所提供的“夾逼法”外，也可以將教材中提供的“在數(shù)軸上畫(huà)出表示[2]的點(diǎn)”的方法“移植”過(guò)來(lái)。

解：如圖1，在數(shù)軸上，構(gòu)造邊長(zhǎng)分別為3和1的長(zhǎng)方形OABC（或兩直角邊分別為3、1的Rt△OCB），然后以O(shè)為圓心，以O(shè)B長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸的正半軸為M，則點(diǎn)M即為數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)[10]的點(diǎn)，由圖可直觀看出與[10]最接近的整數(shù)是3。本題選A。

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題利用數(shù)軸，構(gòu)造圖形，在數(shù)軸上直觀表示出帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)，利用圖形直觀，可估算出該無(wú)理數(shù)的值。當(dāng)我們將數(shù)軸上的刻度細(xì)分時(shí)，估值的精度還能有所提高。

（作者單位：江蘇省句容市教師發(fā)展中心）