數的擴充

何德海

從算術運算來看，如果只有自然數，可以盡情使用加法和乘法運算。有了分數，除法也就順理成章了。但想要減法通行無阻，就必須有負數，因為有時不夠減。有了正負整數、正負分數和0，加、減、乘、除就可以暢通無阻了（只要0不作為除數）。這些數統稱為有理數。

一切似乎都很完美了，公元前500年，古希臘的畢達哥拉斯學派就是這么認為的。他們有一個基本觀點：世界萬物都可以用數來表示，即“萬物皆數”。在他們眼中，一切量都可以用整數或整數的比來表示（即有理數）。科學的道路從來就不是平坦的，這樣的教訓古今都有。科學的發展來自知識的創新，而知識的創新在歷史上往往伴隨著血與淚。畢達哥拉斯學派的弟子希帕索斯發現了無理數，卻遭到同伴無情對待。

一天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著游船出來領略自然風光，以驅散一天的疲勞。一個滿臉胡子的學者看著遼闊的海面興奮地說：“畢達哥拉斯先生的理論一點都不錯。你們看這海浪一層一層，波峰浪谷，就好像奇數、偶數相間一樣。世界就是數字的秩序。”“是的，是的。”這時一個正在搖槳的大個子插進來說：“就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。”

“我看不一定。”這時，船尾的一個學者突然提問了。他沉靜地說：“要是量到最后，不是整數呢？”

“那就是小數。”

“要是小數既除不盡，又不能有規律地循環呢？”

“不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數字直接準確地表達出來。”

這時，船尾的學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說：“并不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示的。就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。”

這個冷靜的學者就是希帕索斯，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、有獨立思考能力的青年數學家。今天要不是因為爭論，他還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫著：“不可能，先生的理論置之四海而皆準。”希帕索斯眨了眨眼睛，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說：

“如果直邊是3，斜邊是幾？”“4。”

“再準確些？”“4.2。”

“再準確些？”“4.24。”

“再準確些呢？”

大個子的臉脹得緋紅，一時答不上來。

希帕索斯說：“你就是再往后數上10位、20位也不能算是最精確的，我演算了很多次。”

這話猶如晴天霹靂，全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達哥拉斯先生的理論？！敢破壞我們學派的信條？！敢不相信數字就是世界？！”希帕索斯這時十分冷靜，他說：“這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會獎賞我的，你們可以隨時去驗證。”可是人們不聽他的解釋，憤怒地喊著：“叛逆！先生的不肖門徒。”“打死他！打死他！”大胡子沖上去，當胸給了他一拳。

希帕索斯抗議著：“你們無視科學，你們竟這樣無理！”“捍衛學派的信條永遠有理。”這時大個子沖了過來，猛地將他抱起：“我們給你一個最高的獎賞吧！”說著就把希帕索斯扔進了海里。藍色的海水很快淹沒了他。一位很有才華的數學家就這樣被奴隸專制制度的學閥們毀滅了，但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價值。慢慢地，他們對殺死希帕索斯的無理行為感到后悔，漸漸明白直覺并不是絕對可靠的，有的東西必須靠科學來證明。

（摘編者單位：江蘇省句容市教師發展中心）