磁力小火車驅動原理及速度影響因素分析

2019-12-29 02:43:58張適

物理通報 2019年1期

張適

(北京市育英學校北京 100036)

在第七屆中國大學生物理學術競賽中有這樣一道題目：兩個扁圓柱形磁鐵與一個柱狀的電池兩端相接，當這個體系放在銅線圈內部且與銅接觸的時候，它會開始運動．解釋這個現象并且研究相關參量怎么影響火車的速度和功率．

題目中的小實驗材料簡單、制作簡易，效果明顯，充分展現了電磁驅動現象，引發了不少學生和教師的關注和討論，這道題目也曾作為北京市中學生物理學術競賽的一道題目．筆者觀看了參賽小組對本題目的研究匯報發現，在解釋小火車的運動原理時，都引用了“磁力小火車的驅動原理”一文的分析方法，即將磁鐵的磁性解釋為分子磁矩和等效環形電流[1]，這種方法有效地解釋了小火車的驅動原因；在研究相關參量影響小火車的速度時，參賽小組應用控制變量法，從銅線長度、螺線圈橫截面積、線圈匝數、電池節數、磁鐵數以及電池連接方式等方面進行了實驗探究，并作了相應的解釋，取得了較好的效果．筆者認為，在一些實驗現象的分析和原理的解釋中仍有不完善之處，有必要作進一步探討．如，磁力小火車的驅動原理還有什么方法分析？小火車的動力和阻力究竟有哪些，與什么因素有關？小火車啟動后為什么會達到一個恒定的速度？小火車的最大速度和功率與哪些因素有關？本文試圖對以上問題作一些分析，不當之處望同行批評指正．

1 驅動原理分析

通過實驗發現，磁鐵吸附電池的方式中，只有如圖1中的兩種方式才會使電池運動．當電池正負極都與磁鐵N極相連，即正(N)負(N)型，這種情況下電池向右運動；當電池正負極都與磁鐵S極相連，即正(S)負(S)型，這種情況下電池向左運動．如果改變線圈的繞行方式或改變電池的放置方向，能運動的仍然是這兩種方式，只不過電池運動的方向會發生改變，這說明螺線管的繞向與電池能否運動無關．小火車的驅動原理和運動方向的原因，也可以通過以下兩種方法解釋．

圖1 磁鐵吸附電池的兩種方式

方法1：以圖1(a)為例，電池在螺線管中某處時，電池通過左端磁鐵A和右端磁鐵B及它們之間的銅導線圈連成一導電回路，其電流如圖2所示．

圖2 電池通過兩端磁鐵及之間導線圈連成一回路

沿螺線軸線方向取一截面，兩磁鐵在通電導線處產生的磁場如圖3所示.根據左手定則可判斷出靠近A處的導線所受的安培力方向呈向左發散狀，如F1，F2，F5，F6其合力向左，靠近B處的導線所受的安培力方向呈向左匯聚狀，如F3，F4，F7，F8其合力也向左，故A，B間的銅線圈所受的合力方向向左．根據牛頓第三定律知，當銅線圈不動時，磁鐵和電池組合體就會受到向右的動力，當動力大于阻力時就會向右運動．

圖3 靠近A,B處導線所受安培力情況

方法2：仍以圖1(a)為例，電池在螺線管中某處時，兩磁鐵A與B間通電螺線管產生的磁場如圖4所示．

圖4 通電螺線管產生的磁場

由于靠近電池的正極和負極處的磁場較強，所以靠近電池的磁極所受的力較大，A，B兩磁鐵的N極和S極所受磁力情況如圖5所示.A磁鐵的N極受到向右的磁力FAN大于S極受到向左的磁力FAS，合力向右，B磁鐵的N極受到向右的磁力FBN大于S極向左的磁力FBS，合力也向右，顯然電池和兩磁鐵組合體所受的合力方向向右，當這個合力大于組合體所受的阻力時，就會向右運動．

圖5 A，B兩磁鐵N，S極所受磁力情況

2 受力分析

實驗表明，最初小火車由靜止開始做加速運動，而后很快就達到最大速度保持恒定的速度勻速運動.從力與運動角度分析，加速運動過程中，驅動力大于所受的阻力；達到最大速度時，驅動力等于所受阻力．從加速到勻速，小火車所受的驅動力和阻力應至少有一個發生變化，才能使合外力逐漸減小至零，那么，是什么力發生了變化？

2.1 驅動力分析

驅動力是銅線圈產生的磁場與A，B磁鐵間的相互作用力，這個力由線圈中的電流大小和A，B磁極的磁場強弱決定．以圖4為例，當小火車靜止時，由于前后兩個磁極相同，它們在A，B段銅線管中的磁通量始終為零，并不產生感應電動勢；當小火車向右運動時，對A，B段銅線圈而言，A磁鐵進入線圈，使線圈向右的磁通量增大，B磁鐵離開線圈，使線圈向左的磁通量減小．由楞次定律可判斷出，在該段線圈中產生與原電流方向相反的感應電動勢 (反電動勢)．以圖3為例，若用Bi表某匝線圈處的磁感應強強度，θi表示磁感線與該匝線圈平面的夾角，用n和d分別表示A，B段銅線圈的匝數和橫截面直徑，v表示小火車的速度，則反電動勢可表示為

(1)

若用E，r分別表示電池的電動勢和內電阻，R表示A，B段銅線圈的電阻，由閉合電路歐姆定律可得A，B段銅線圈中的電流為

用Fi表示所受的安培力，由如圖6所示可求得A，B段銅線圈所受磁鐵的作用力為

圖6 A，B段銅線圈所受到磁場的作用力

根據作用力與反作用力，可得小火車所受的驅動力為

(2)

由式(1)、(2)分析可知，隨著小火車速度的增大，反電動勢增大，電流減小，驅動力逐漸減小，當速度恒定時，驅動力也達到恒定值．

2.2 阻力分析

摩擦阻力.由Ff=μFN知，小火車前進時所受銅線圈的摩擦阻力大小應與車重和接觸面處的動摩擦因數決定，其大小為Ff=μmg，其中μ為磁鐵和電池與銅線圈間的動摩擦因數，m為磁鐵和電池的總質量．當銅線圈水平放置且繞制的疏密程度相同時，組合體的重量不變，摩擦阻力大小基本不變．

空氣阻力.小火車前進所受空氣阻力雖然與車速有關，但小火車的速度又較小，這個阻力是很小的，可以不考慮．

電磁阻尼.以圖4為例，當小火車前進時，電池兩端的A磁鐵靠近通電銅線圈產生的磁場，B磁鐵遠離通電銅線圈產生的磁場，使得穿過A，B磁鐵截面的磁通量發生變化，從而在A，B截面上產生感應電流(渦流)，并受到阻礙運動的力．電磁阻尼力無法定量表達，我們可以進行簡化處理，將磁鐵簡化為一等效金屬圓環，其直徑為dj，等效電阻為Rj，若用Bj表示通電銅線圈在該環處的磁感應強度，α表示Bj與環面的夾角，如圖7所示.

圖7 將磁鐵簡化為等效金屬圓環

當小車以v向右運動時，環切割磁感線，產生感應電動勢為

Ej=Bjπdjvcosα

感應電流為

所受的電磁阻力為

(3)

可見，隨著車速的增大，電磁阻力增大．運動中，由于磁鐵和通電線圈相對靜止，穿過兩磁鐵的磁通量沒有明顯變化，所以這個電磁阻尼力較小，也可以不考慮．

3 最大加速度和最大速度分析

3.1 啟動條件及最大加速度

若用FD表示驅動力，Ff表示阻力，不考慮空氣阻力和在磁鐵中產生的電磁阻尼力，m,a分別表示小火車的質量和加速度，由牛頓第二定律可得

FD-Ff=ma

(4)

由式(4)可知，若要想使小火車啟動時，須有FD>Ffm，Ffm為最大靜摩擦力，通常取Ffm=μ0mg(μ0為靜摩擦因數)；運動開始時，速度v=0，FD最大，由式(1)和式(2)和得最大驅動力為

啟動的條件為

(5)

實驗表明，對磁鐵、線圈材料、電池都有一定要求，一般取一節普通的南孚7 號電池、4～10片直徑12 mm圓柱形釹鐵硼超強磁鐵、直徑約1 mm的銅線繞制的螺線管，完能較好地成實驗．

小火車啟動后加速運動的加速度可由式(4)求出

小火車剛啟動時，速度v=0，I最大，由以上各式可得最大加速度為

(6)

3.2 最大速度及影響因素

小火車啟動后，v增大，FD減小，加速度a減小；當a=0時，FD減小到最小值，v達到最大值，由式(1)、(2)、(4)聯立可得最大速度為

(7)

由式(7)分析可知，影響小火車運動速度的因素有A,B磁鐵的磁性強弱、體積大小、材質、質量和個數，電池的電動勢、內阻、質量，銅線圈的粗細、銅絲的粗細、繞制的松緊程度(A,B間的匝數)，A,B磁鐵與銅線圈間的動摩擦因數等．在這些因素中，動摩擦因素μ越小、電池的電動勢E越大，A,B間銅線圈和電池的內電阻越小，磁鐵和電池的總質量m越小，小火車的速度越大．對于式中的dBC，則需要分情況討論．