2018年高考理綜新課標(biāo)卷Ⅲ第17題的多種解法

劉朝龍

(貴陽(yáng)市烏當(dāng)中學(xué) 貴州 貴陽(yáng) 550018)

A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍

1 應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及數(shù)學(xué)方法求解

解法一：設(shè)斜面的傾角為θ，由題意可知兩小球平拋過(guò)程的位移與水平方向的夾角也均為θ，設(shè)小球落至斜面時(shí)速度與水平方向的夾角為α，因?yàn)?/p>

tanα=2tanθ

故兩小球落至斜面時(shí)速度與水平方向的夾角也相等．

如圖1所示，由相似三角形可知

解得v甲=2v乙，故選項(xiàng)A正確．

圖1 速度分解

點(diǎn)評(píng)：此方法應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)tanα=2tanθ的二級(jí)結(jié)論，將速度矢量進(jìn)行正交分解，再運(yùn)用數(shù)學(xué)中兩相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等，便可快速而正確地解答此題．

解法二：設(shè)斜面的傾角為θ，由題意可知兩小球平拋過(guò)程的位移與水平方向的夾角也均為θ，設(shè)小球落至斜面時(shí)速度與水平方向的夾角為α，因?yàn)?/p>

tanα=2tanθ

故兩小球落至斜面時(shí)速度與水平方向的夾角也相等．

如圖1所示，由三角函數(shù)可知

v=v甲cosα

由上面兩式解得v甲=2v乙，故選項(xiàng)A正確．

點(diǎn)評(píng)：此方法與解法一的區(qū)別在于使用的數(shù)學(xué)工具不同．前者應(yīng)用的是相似三角形，而后者運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是直角三角形中的余弦函數(shù)．

解法三：設(shè)斜面的傾角為θ，由題意可知兩小球平拋過(guò)程的位移與水平方向的夾角也是均為θ，設(shè)小球落至斜面時(shí)速度與水平方向的夾角為α，因?yàn)?/p>

tanα=2tanθ

故兩小球落至斜面時(shí)速度與水平方向的夾角也相等．小球落至斜面時(shí)，設(shè)甲、乙兩小球在豎直方向的速度大小分別為vy甲,vy乙．

如圖1所示，由三角函數(shù)可知

vy甲=vtanα

根據(jù)勾股定理有

聯(lián)立解得v甲=2v乙，故選項(xiàng)A正確．

點(diǎn)評(píng)：此方法與解法二相比，區(qū)別也是數(shù)學(xué)工具：將解法二的直角三角形的余弦函數(shù)換為正切函數(shù)，同時(shí)運(yùn)用勾股定理聯(lián)立解答．

解法四：由題意可知，兩小球平拋過(guò)程的位移與水平方向的夾角相等，設(shè)甲、乙小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t甲和t乙．由圖可知，兩小球的水平位移大小與豎直位移大小之比相等．

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有

解得

t甲=2t乙

小球落至斜面時(shí)，設(shè)甲、乙兩小球在豎直方向的速度大小分別為vy甲，vy乙．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律vy=gt可知

vy甲=2vy乙

由于落至斜面時(shí)，小球甲速度的水平分量和豎直分量都是小球乙速度的水平分量和豎直分量的2倍，說(shuō)明兩小球的水平速度與豎直速度構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．由相似三角形規(guī)律可知斜邊也是2倍，即

v甲=2v乙

故A選項(xiàng)正確．

當(dāng)然，此解法得出vy甲=2vy乙結(jié)論后，也可以直接應(yīng)用勾股定理得出v甲=2v乙．

點(diǎn)評(píng)：此方法是一種常規(guī)解法，也是大多數(shù)考生采用的方法．需要考生熟練地掌握平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，熟知解答平拋運(yùn)動(dòng)采用的矢量分解法及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)．

2 應(yīng)用動(dòng)能定理及能量守恒定律求解

解法五：由題意可知，兩小球平拋過(guò)程的位移與水平方向的夾角相等，設(shè)甲、乙小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t甲，t乙．由圖1可知，兩小球的水平位移大小與豎直位移大小之比相等．

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有

解得t甲=2t乙.

h甲=4h乙

設(shè)甲、乙兩小球的質(zhì)量均為m，由動(dòng)能定理得

聯(lián)立解得v甲=2v乙，故選項(xiàng)A正確．

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)能定理是一個(gè)重要的物理規(guī)律，在中學(xué)物理中有著廣泛的應(yīng)用，是高中階段處理物理問(wèn)題的主要學(xué)科思維之一．使用此方法能夠彰顯考生的學(xué)科素養(yǎng)，同時(shí)也顯示出對(duì)物理知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．

解法六：由題意可知，兩小球平拋過(guò)程的位移與水平方向的夾角相等，設(shè)甲、乙小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t甲，t乙．由圖1可知，兩小球的水平位移大小與豎直位移大小之比相等．

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有

解得t甲=2t乙.

設(shè)小球落至斜面時(shí)，甲、乙兩小球下落的高度分別為h甲，h乙，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

可知

h甲=4h乙

設(shè)甲、乙兩小球的質(zhì)量均為m，所以，平拋過(guò)程中小球甲重力勢(shì)能的減少量是小球乙重力勢(shì)能的減少量的4倍，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，小球甲動(dòng)能增加量是小球乙動(dòng)能增加量的4倍，即

聯(lián)立解得

v甲=2v乙

故A選項(xiàng)正確．

點(diǎn)評(píng)：能量守恒定律是一切物理過(guò)程遵循的基本規(guī)律．能量守恒應(yīng)該是貫穿整個(gè)物理學(xué)的一個(gè)重要理念，它不僅僅是某一兩個(gè)章節(jié)的內(nèi)容．因此，在高三備考復(fù)習(xí)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完備的物理學(xué)科知識(shí)體系．

3 運(yùn)用動(dòng)量定理求解

解法七：若小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中初、末動(dòng)量分別為px，p，落至斜面時(shí)，豎直方向的分動(dòng)量為py，根據(jù)動(dòng)量定理有

I=p-px

根據(jù)矢量運(yùn)算法則，由圖2可知

py=p-px

即

I=py

圖2 動(dòng)量分解

設(shè)甲、乙小球質(zhì)量均為m，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t甲，t乙，甲、乙兩小球在豎直方向的速度大小分別為vy甲，vy乙，則可得

mgt甲=mvy甲

mgt乙=mvy乙

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，由三角函數(shù)可知

聯(lián)立解得

vy甲=2vy乙

由于落至斜面時(shí)，小球甲速度的水平分量和豎直分量都是小球乙速度的水平分量和豎直分量的2倍，根據(jù)勾股定理可知

v甲=2v乙

故A選項(xiàng)正確．

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)量定理是選修3-5內(nèi)容，在2017年以前屬于選考模塊，受到諸多因素的制約，動(dòng)量定理的相關(guān)內(nèi)容與動(dòng)力學(xué)的綜合較少，師生的重視程度不夠．而且，在矢量運(yùn)算中，三角形法則的應(yīng)用沒(méi)有平行四邊形法則的應(yīng)用廣泛，故這種解法在以上7種方法中較生僻．

教學(xué)啟示：本題在2018年高考理綜新課標(biāo)卷Ⅲ物理試題中難度中等，題干簡(jiǎn)潔，考查的方法多樣，留給學(xué)生發(fā)散的思維空間較大，屬于一題多解的試題．從高考選拔功能的角度看，此題是一道好題．一題多解，是指對(duì)一道習(xí)題，采用多種方式求解．由于所用的物理規(guī)律及方法不同，可以實(shí)現(xiàn)從多個(gè)側(cè)面深入認(rèn)識(shí)和理解同一運(yùn)動(dòng)規(guī)律．此題的一題多解，涉及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理及各種數(shù)學(xué)方法．因此，在物理教學(xué)中要注意鍛煉學(xué)生一題多解的能力，尤其是在高三復(fù)習(xí)備考中，多嘗試此類(lèi)習(xí)題，既能鞏固不同的物理知識(shí)和規(guī)律、方法和技巧，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣和對(duì)問(wèn)題探究的欲望．