剛體力學積分習題中體元選取方法*

丁學成 馮曉敏

(河北大學物理科學與技術學院 河北 保定 071002)

1 引言

力學課程是物理學及相關專業學生的基礎課，也是學生步入大學后的第一門物理課程，部分學生學習起來比較困難，特別是剛體力學部分，中學與大學學習方法不同以及數學基礎較弱是困擾學生的兩個主要因素. 通過多年講授力學課程發現數學基礎薄弱這一因素更為關鍵，學生本來對定積分就比較陌生，到學習計算剛體的質心位置、轉動慣量和摩擦力矩時，所給定義式為三重或二重積分的形式，考慮到學生沒有學習多重積分，而在例題和習題中只計算一些簡單的定積分，即通過合理選取體元或面元將三重或二重積分簡化成定積分[1～3]. 但對在何種條件下，如何選取體元或面元才能將三重積分或二重積分的定義式簡化成定積分來計算沒有詳細的解題過程，致使學生理解不到位，只能采用“模仿式”的方法做題，遇到沒見過相類似的例題時就束手無策了. 另外，在定積分的計算過程中，有時用直角坐標，有時用柱坐標系或極坐標系，學生對如何選取合適的坐標系進行積分也感到困難.

本文從物理概念出發，結合截面積分法和二次積分法，并考慮到不同坐標系下體元或面元的具體表示形式，實現了三重或二重積分的定義到定積分計算的銜接.

2 計算剛體質心位置過程中體元的選取方法

剛體質心位置rc的定義式為

(1)

其中dV為質元的體積，ρ為剛體dV處的密度，r是質元dV的位置矢量. 在直角坐標系中，質心位置坐標記作xc,yc和zc，dV寫成dxdydz[4]，則有

(2)

就數學而言，式(2)是3個三重積分，三重積分計算常用的方法有三次積分法、投影法(“先一后二”法)和截面法(“先二后一”法)，其中截面法是一種計算三重積分的最簡單、最快速的方法[5]，將此方法應用到剛體質心位置和轉動慣量的計算中，使積分過程變得非常簡單.

先來介紹一下截面法，設空間閉區域

V=(x,y,z)|c≤z≤d,(x,y)∈Dz

則有

(3)

如果在被積區域內被積函數僅是z的函數，則

(4)

其中σ(z)為截面的面積，記作面元，把σ(z)dz記作體元.

力學中計算質心時，一般只需要計算一個分量，另外兩個分量可以根據對稱性求出[1]，并且密度ρ多為常數或僅隨需要積分這個坐標變化，例如需要通過積分得到xc，則密度ρ僅是x的函數，即ρ=ρ(x). 以需要計算xc為例，則式(2)中分子的被積函數可以寫成fx=xρ(x)僅是x的函數，分母被積函數ρ也只是x的函數，則有

(5)

面元σ(x)是垂直于坐標軸x的平面，或者說σ(x)內各點的x值相等，x是體元σ(x)dx的位置，這與質心位置定義式中坐標x是體元dV的坐標相一致.

則

圖1 圓錐體體元示意圖

由式(5)得

(6)

根據對稱性可以得到

yc=zc=0

如果密度ρ為常數，則式(5)可以簡寫成

(7)

3 計算剛體轉動慣量過程中體元的選取方法

剛體轉動慣量的體元選取方法和質心位置計算相似，但是剛體定軸轉動和無滑滾動都需要圓柱體對柱體軸線的轉動慣量.由于圓柱體的積分側面為柱面，一般用柱坐標積分比較方便.剛體轉動慣量I的定義式為

I=?Vr2ρdV

其中r為軸到dV的距離，ρ為dV處的密度，在柱坐標系下dV=rdθdrdz. 如果密度ρ僅是r的函數，可以看出，在轉動慣量定義式中被積函數fθ,r,z=r2ρ(r)僅是r的函數，則可以采用截面法進行積分，這時轉動慣量的定義式可以寫成

(8)

其中R為圓柱體半徑，σ(r)為截面的面積，記作面元，把σ(r)dr記作體元.

例如求半徑為R，高為h，密度ρ=ρr(r≤R)的圓柱體對柱體軸線的轉動慣量. 在距軸線為r處，取一厚度為dr,高為h的薄圓筒作為體元，如圖2所示. 可以看出，σr=2πrh,則

(9)

圖2 圓柱體體元示意圖

若密度ρ為常數，則

其中m=ρπR2h為圓柱體的質量.

4 計算摩擦力矩過程中面元的選取方法

質點所受力矩M的定義式為M=r×F，其中r為從軸或點(參考點)到力的作用點的矢量，F為質點受到的合外力. 假設力均勻分布在一個平面內，任一面元所受摩擦力為df，r為從軸或點指向df的作用點的矢量，設受力區域(積分區域)為S，則整個平面受到力矩M可以寫成

M=?Sr×df

(10)

要想把式(10)的積分結果計算出來，首先將矢量積分變成標量積分，這就要求所有矢量元(r×df)的方向相同或對其進行分解，典型習題為摩擦力矩的計算.

例如將一半徑為R，面密度為σ的薄圓盤放在摩擦系數為μ的水平桌面上，求其繞垂直于桌面的中心軸O轉動時的摩擦力矩. 整個圓盤各點均受到摩擦力，若圓盤按如圖3所示方向轉動，盤上各點的摩擦力矩均垂直于圖面指向外，并且r⊥df，df可以寫成df=μgσdS，因此可以將式(10)矢量積分轉化為標量積分，有

M=?Srdf=?SrμgσdS

(11)

圖3 圓盤面元示意圖

本題的積分區域為圓域，一般采用極坐標比較方便，在極坐標情況下，面元dS=rdθdr，并且被積函數fθ,r=fr，僅是r的函數，二重積分可以變成二次積分

(12)

針對本例題，fr=rμgσ，Ar=2πr，代入到式(11)得

其中m為圓盤的質量. 如果面密度σ和摩擦因數μ是r(r≤R)的函數，式(12)仍然適用.

5 結束語

利用三重積分的截面法和二重積分的二次積分法，實現了用三重或二重積分定義的定義式到定積分計算的銜接. 并注意到積分區域的側面為柱面時，使用柱坐標比較方便；而積分區域為圓域時，使用極坐標比較方便. 并通過例題詳細討論了用三重或二重積分定義的定義式到定積分計算的取元和解題過程.