牛頓環等厚干涉與邁克爾孫等傾干涉的比較

劉敏敏

(武漢工程大學光電信息與能源工程學院,數理學院 湖北 武漢 430205)

在大學物理光的干涉教學中，牛頓環等厚干涉與邁克爾孫等傾干涉是教學中很重要的內容．由于干涉條紋的相似性，學生在學習時往往很容易把牛頓環等厚干涉與邁克爾孫等傾干涉混淆起來[1～4]，本文著重分析和總結了牛頓環等厚干涉與邁克爾孫等傾干涉的特點、聯系和區別，以供學習參考．

1 薄膜干涉

如圖1所示，一折射率為n的透明薄膜，處于上下折射率分別為n′和n″的介質中，膜厚為d，從面光源(擴大光源)上S點發出的真空波長為的光線0以入射角i射到膜上A點后，分成兩部分，即反射光和折射光，到薄膜中在膜下表面B處又反射之后經C處折射到介質n′中，即2光．顯然，1和2光是平行的，經透鏡L會聚后在P點．因為，1和2光是來自同一入射光，因此1和2光的振動方向相同，頻率相同，在P點的位相差固定，所以二者產生干涉．一束光經薄膜二表面反射和折射分開后，再相遇而產生的干涉稱為薄膜干涉．又因1和2各占入射光0的一部分，所以此種干涉稱為分振幅干涉．

圖1 薄膜干涉示意圖

光束1,2 的光程差為

(1)

其中，k為條紋的級次．按照產生干涉的原因不同，薄膜干涉可分類為:

(1)等厚干涉.在薄膜干涉中光入射角i不變，即為常數時，干涉隨厚度的變化而形成不同級次的條紋，在同一厚度下形成同一級次的條紋，稱為等厚干涉．

(2)等傾干涉.在薄膜干涉中薄膜厚度d不變，即為常量時，干涉隨傾角的不同而變化形成不同級次的條紋，在同一傾角下形成同一級次的條紋，稱為等傾干涉．

2 牛頓環等厚干涉和邁克爾孫等傾干涉

2.1 牛頓環等厚干涉

牛頓環光路以及干涉條紋示意圖如圖2所示.

圖2 牛頓環光路以及干涉條紋示意圖

其中R為牛頓環平凸鏡的曲率半徑，平行光垂直入射，入射角i=0, 空氣膜折射率n=1，代入式(1)，牛頓環的光程差和產生明暗紋的條件為

(2)

可得明條紋級次k滿足如下條件，其中dmax為空氣膜的最大厚度

(3)

事實上，當空氣膜的厚度遠大于入射光的波長時干涉現象將會不明顯甚至消失，如在牛頓環實驗中我們可以觀察到此現象，在牛頓環的平凸鏡與平板玻璃接觸點附近，干涉現象明顯，離接觸點較遠的地方，干涉現象變得不明顯，用肉眼觀察時，則看不到干涉的細小條紋，這也正是光的干涉在障礙物尺寸與光波波長相比擬的條件下產生的一種體現．另外，干涉明暗條紋的半徑可表示為

(4)

從式(4)可以看出，隨著條紋級次k的增加，干涉條紋的半徑增加，但是由于條紋表達式不是等差數列，即相鄰兩條紋間距不相等，以明條紋為例，則兩相鄰的明條紋間距為

(5)

式(5)表明相鄰兩條紋的間距Δr是級次k的單調遞減函數，級次k越大，間距Δr越小，級次k越小，間距r越大，由于里環的級次k小，外環的級次k大，因此整體條紋為以平凸鏡和平板玻璃的接觸點為中心，里環稀疏，外環密集的明暗相間的同心圓環．

2.2 邁克爾孫等傾干涉

邁克爾孫等傾干涉光路以及干涉條紋示意圖如圖3所示，d為等效空氣膜的厚度，f為觀察干涉條紋透鏡的焦距，邁克爾孫等傾干涉的光程差與明暗紋條件為

Δ=2dcosi=

(6)

圖3 邁克耳孫干涉儀光路以及干涉條紋示意圖

當入射角為零度垂直入射時，對應著干涉條紋的中心，隨著入射角度增加，條紋以中心為圓心向外展開．由式(6)可知中心的條紋級次最高，隨著入射角度的增加，光程差隨之遞減，條紋向外展開時，條紋級次越來越低．

以明條紋為例，則可以得到入射角i隨級次k的微分

(7)

可以看到隨著入射角度的增加，相鄰兩明條紋角度間距減小，即以干涉條紋中心為參考，干涉條紋里環稀疏，外環密集．

由明條紋條件可得

(8)

可得條紋級次的取值范圍為

(9)

等效空氣膜的厚度d決定了條紋的級次的最大值，最高級次對應零度入射角，即垂直入射的情形．

由式(8)可得

(10)

從光路以及干涉條紋示意圖可以得條紋半徑

(11)

故級次k越大，條紋rk半徑越小．而且，由式(11)可得兩相鄰的明條紋間距為

Δr=rk+1-rk=

(12)

式(12)表明兩相鄰的明條紋間距Δr是級次k的單調遞增函數，可以看出級次k越大，間距Δr越大，級次k越小，間距Δr越小，由于里環干涉條紋級次k大，外環干涉條紋級次k小，因此，整體干涉條紋為里環稀疏，外環密集的明暗相間的同心圓環．

3 牛頓環等厚干涉與邁克爾孫等傾干涉的比較

牛頓環等厚干涉與邁克爾孫等傾干涉條紋，都是明暗間隔的圓環，從干涉圓環中心往外，干涉條紋越來越密．然而，雖然牛頓環等厚干涉條紋和邁克爾孫等傾干涉條紋具有相似的形狀，但兩種干涉卻具有不同的本質，兩者的聯系與區別主要可分為以下幾點：

第一，牛頓環等厚干涉的空氣膜的厚度是變化的，邁克爾孫干涉儀的等效空氣膜是厚度相等的．不能簡單地從字面上理解等厚干涉為“厚度不變”，理解等傾干涉為“傾角不變”．

第二，產生牛頓環等厚干涉的入射光與等傾干涉的入射光線有所不同．在牛頓環等厚干涉中，入射光線是經擴展光源發出的平行光線，這些光線是垂直照射到牛頓環平凸透鏡的上表面后進入空氣膜，在介質( 空氣) 相同厚度位置形成同一級干涉條紋． 而在邁克爾孫等傾干涉中，照射到空氣薄膜上的是經面光源發出的具有不同傾角的非平行光線，其中具有相同傾角的入射光線產生同一級次干涉條紋．

第三，兩種干涉的不同還體現在干涉條紋的級次上．牛頓環的干涉級次從條紋中心由內向外依次增加的，越往外，光程差越大，干涉級也越來越高．對于空氣膜牛頓環，牛頓環干涉圖形中心對應最低級次條紋．而在邁克爾孫等傾干涉中，從中心往外，對應的入射角角度的增加，光程差是逐漸減小的，干涉級次依次降低，中心對應最高級次的條紋，與牛頓環中的情形正好相反．對于等傾干涉圖樣的中心，光程差為2d，不一定是明紋或暗紋，而牛頓環空氣膜中心厚度為零時則是暗斑．

第四，改變中間空氣層厚度時，干涉條紋的移動規律不同． 在牛頓環等厚干涉中，通過逐漸增加中間空氣層厚度，觀察干涉條紋的移動，其干涉條紋是往中心收縮的；當減小薄膜厚度時，中心級次較低的干涉條紋向外冒出．而在邁克爾孫等傾干涉中，逐漸增加空氣層厚度，由式(9) 可知，級次隨之增加，等傾干涉條紋一個個從中心冒出并往外移動；反之減小空氣膜的厚度時外圍級次較低的條紋向中心收縮．在條紋的移動隨空氣膜厚度的增減的變化上，牛頓環等厚干涉和邁克爾孫等傾干涉情況是相反的．

第五，由明條紋半徑公式(4)與(11)可知牛頓環和邁克爾孫等傾干涉的條紋半徑表達式不一樣，由兩相鄰明條紋間距公式(5)和公式(12)可知，牛頓環相鄰兩干涉明條紋的間距與邁克爾孫等傾干涉兩相鄰明條紋的間距的表達式也不一樣，影響它們的具體因素實際上是不一樣的．雖然條紋看上去非常相似，但是它們的本質不同．

第六，邁克爾孫干涉儀通過調節，也可以實現等厚干涉，只是其干涉條紋不再是同心的明暗相間的圓環，而是近似平行的弧形，或者經細致調節后得到的平行的等間距的明暗相間的干涉條紋．

總之，對于牛頓環等厚干涉和邁克爾孫干涉儀等傾干涉，理清它們的本質規律有利于學生在學習時理解和掌握它們．在教學的過程中，注意比較它們的異同之處，有助于幫助學生理解和掌握此兩處知識點，并且進一步理解光的干涉性質以及波動本性．