關于有序分拆的分部量1的幾個In-place恒等式

郭育紅,馬蕾

(河西學院數學與統計學院,甘肅 張掖 734000)

1 引言

在經典的分拆理論中,對于分拆恒等式的研究一直是一個熱點問題[1-3].近年來,文獻[4-12]得到了豐富的研究成果.特別是,文獻[4]建立了下面的恒等式.

定理 1.1[4]正整數n的無序分拆中偶分部量出現偶數次的分拆數等于正整數n的分部量不是4m+2型的無序分拆數.

開展白花前胡留種技術研究和優質種子培育技術研究從而實現有效控制早期抽薹率是未來值得重點關注的研究方向，不但對中藥資源的開發利用具有重要意義，而且能為開展優良中藥材品種選育研究提供理論支撐。

文獻[13]給出了關于正整數的有序分拆的相應恒等式.

定理 1.2[13]設n≥0,則正整數n的有序分拆中偶分部量出現In-place偶數次的分拆數等于正整數n的分部量不是4m+2型的有序分拆數.

定理 1.3[13]設n≥0,則正整數2n的有序分拆中奇分部量出現In-place偶數次的分拆數等于正整數n的每個奇分部量有兩種形式的有序分拆數.

孕媽媽可以根據自己的體能和身體狀況安排游泳時間，通常每周1～2次。對孕媽媽來說，游泳環境的清潔和安全尤為重要，選擇水質干凈合格的游泳場所，避免病菌感染而影響妊娠結局。

定理 1.4[13]設k≥2,l≥2是給定的整數.設n≥0,則正整數n的有序分拆中能被k整除的分部量出現In-place次數是l的倍數的分拆數等于正整數n的分部量不是lkm+ik(其中:1≤i≤l?1)型的有序分拆數.

定理 1.5[13]設k≥2是給定的整數.設n≥1,則正整數kn的有序分拆中不能被k整除的分部量出現In-place次數是l的倍數的分拆數等于正整數n的不能被k整除的分部量有兩種形式的有序分拆數.

該次數據采用SPSS 14.0統計學軟件分析，組間計數資料[n（%）]和計量資料（±s）分別行 χ2檢驗和 t檢驗，P<0.05為差異有統計學意義。

2016年,本文作者研究了關于分部量是1,2的有序分拆的In-place恒等式,給出了下面的結論.這里把分部量是1,2的有序分拆記為“1-2有序分拆”.

定理 1.6[14]設n≥1,則正整數n的1-2有序分拆中分部量2出現In-place偶數次的分拆數等于正整數n+1的分部量不是4m+3型的有序分拆數.

進而研究回文的有序分拆的 In-place恒等式.所謂回文的有序分拆[1]是指一個有序分拆從左邊讀和從右邊讀是相等的.例如,4的回文有序分拆有:(4),(2,2),(1,2,1),(1,1,1,1).關于回文的有序分拆的In-place恒等式,有以下結論.

綜合各方面因素,兩種方案比較,方案2較理想，采用變頻發電技術，使江都三站電機效率得以提高,同時有利于長期抽水運行，也可減小電機體積和重量，節約投資。

在這段語料中，從賓利先生對本內特太太提議的回答可以看出，賓利先生的話語中存在著明顯的語用模糊現象。賓利先生想要達西先生和伊麗莎白兩個人單獨出門。但是他詢問的卻是伊麗莎白的妹妹 （Kitty）是否覺得路程太遠了。這種語用模糊的現象，通常使得話語的言外之意的不確定性帶有一定的動機。一方面為達西先生和伊麗莎白的獨處創造了條件，另一方面又從禮貌原則出發保存了伊麗莎白妹妹在對話中的面子。

上述恒等式是定理2.2及正整數的沒有限制的有序分拆數的直接結果.這里給出一個組合證明.

自然地,得到下面的恒等式.

西雙版納國家公園的建設是基于上世紀八十年代成立國家級自然保護區，九十年代保護區也嘗試在小范圍采用“社區共管”的方式來緩解發展與保護的矛盾，但淺嘗輒止。隨著西雙版納大規模的引入橡膠種植，周邊社區的經濟收入得到較大改善，對保護區和國家公園的依賴也大大降低，對資源權利的訴求較弱，主要是希望國家公園的建設也能帶動本村旅游業發展。

本文繼續沿用學者們采用的術語 “In-place”.所謂有序分拆的一個分部量出現In-placej次是指該分部量出現在連續的j個位置上.

例如,有序分拆(2,2,2,2,3,4,5,6,6,2,2,3,1,1)中,每個偶分部量出現In-place偶數次,而奇分部量出現的次數有奇數次,也有偶數次.文獻[13]把奇分部量有兩種形式中的一種形式表示為帶“*”號.本文仍然采用這種表示方法.

本文首先給出正整數的有序分拆中的分部量1有兩種形式的一個恒等式.其次得到了幾個關于正整數的分部量是1或者2的有序分拆數以及回文的有序分拆數的In-place恒等式.

2 幾個In-place恒等式

首先給出下面關于分部量1的一個In-place恒等式.

定理 2.1設n≥1,則正整數n的有序分拆中分部量1有兩種形式的分拆數等于正整數2n的分部量1出現In-place偶數次,且不含大于1的奇分部量的有序分拆數.

證明證明類似于文獻[13],對于正整數的分部量1有兩種形式的任一個有序分拆C,作如下的變換:

?把大于1的分部量λ變換成2λ;

?把沒有標“*”號的分部量1變換成2;

《薩蒂鋼琴曲全集（第二版）》，CD6張，商標：Warner Classics/Parlophone，唱片號：B07CQL32G3，發行日期：2018年8月24日。演奏：阿爾多·齊科里尼。埃里克·薩蒂的鋼琴作品充分體現了他作為創作者的獨特聲音，包括幽默和模仿神秘主義和宗教色彩。對于這些神秘的作品，阿爾多·齊科里尼的詮釋是無可替代，他對薩蒂音樂的善變情緒和幽默感非常敏感，沒有人能像他那樣出色地演繹薩蒂。當音樂需要時，他會以純潔、細膩和力量的完美融合來演繹作品。

例 2.1設n=3,則正整數3的分部量1有兩種形式的有序分拆有下面13個:

按照上述變換,得到正整數2n的一個有序分拆,在該有序分拆中,分部量1總是成對出現,即分部量1出現In-place偶數次;而且該有序分拆中沒有大于1的奇分部量.

[26][28]哈貝馬斯：《在事實與規范之間》，童世駿譯，北京：生活·讀書·新知三聯書店，2003年，第148、379-380頁。

上述變換顯然是一一的,故結論成立.證完.

給出一個例子來說明定理2.1中的對應關系.

?把標有“*”號的分部量1變換成1,1.

6的分部量1出現In-place偶數次,且不含大于1的奇分部量的有序分拆有下面13個:

盡管市場不斷擴大、業務不斷增長，IoT仍處于技術發展的初期，依舊面臨一系列的安全隱患，龐大的數量和自身的脆弱性使得IoT設備極易成為黑客的首選目標。電影《速度與激情8》中數以萬計的智能車輛被“天眼”系統惡意操控，進而組成“僵尸車聯網”圍剿國防部長；再如，2016年下半年，Mirai病毒控制超過30多萬臺的IoT設備對Dyn公司、OVH公司發動大規模分布式拒絕服務（DDoS）攻擊，致使164個國家或地區受到影響。因此，IoT產業化的日益加速與技術的安全可信之間的矛盾成為該領域急需解決的重要問題，也是推動新型IoT技術發展的重要因素之一。

由定理2.1的證明很容易得到下面關于1-2有序分拆的In-place恒等式.

定理 2.2正整數2n的1-2有序分拆中分部量1出現In-place偶數次的有序分拆數等于2n.

證明如果在有序分拆中,分部量1有兩種形式,則正整數n的分部量均為1的有序分拆(1,1,···,1)產生2n個有序分拆.于是按照定理2.1中的變換,這2n個有序分拆對應2n的1-2有序分拆,而且分部量1出現偶數次.證完.

并且,他們將上述恒等式做了推廣,得到了較為一般的結論.

伴隨企業的運行及發展，在企業集團運行中，戰略性成本管理作為較為重要的內容，是企業經濟發展的保障。在企業運行中，若只是依靠短期成本降低是無法滿足企業發展需求的。在成本管理中，應該結合成本管理的理念，轉變以往的成本核算以及成本經營控制機制，結合企業成本管理工作的特點，進行成本管理策略的完善，逐漸提高企業的經濟性，為企業成本功能、成本質量以及成本管理的制度完善提供參考。

定理 2.3正整數2n的1-2有序分拆中分部量1出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數n+1的有序分拆數.

定理 1.7[14]設n≥1,則正整數n的1-2回文有序分拆中分部量2出現In-place偶數次的分拆數等于正整數n+1的分部量不是4m+3型的回文有序分拆數.

對于(B)中的任意一個分拆,首先按照從右到左的順序把2和它左邊連續的分部量1相加得到新的分部量,得到2n的分部量是偶數的有序分拆.然后,把每個分部量除以2,就得到n的有序分拆.最后,給得到的n的有序分拆的右端添上分部量1,于是得到n+1的右端分部量是1的有序分拆.

(A)右端的分部量是1;

(B)右端的分部量是2.

對于時間要素(見圖2),事件e19和事件e20都是在時間編號為t19的時間段內發生的,這時就在事件e19的屬性tid中同時標注出t20.

對于(A)中的任意一個分拆,首先按照從左到右的順序把連續的分部量1和它右邊的2相加得到新的分部量,得到2n的分部量是偶數的有序分拆.然后,把每個分部量除以2,就得到n的有序分拆.最后,給得到的n的有序分拆的右端分部量加上1,于是得到n+1的右端分部量是大于1的有序分拆.

證明(組合證法)將正整數2n的1-2有序分拆中分部量1出現In-place偶數次的有序分拆分為下面兩類:

綜上,可得到n+1的所有有序分拆.反之亦然.證完.

城區學校規模大，師資充足，能夠做到開齊學科，開足課時；但市郊農村學校重文化輕素養，認識偏頗,藝術教師配備情況遠低于城鎮學校，師資嚴重缺乏且多為兼職、專職，專業的藝術教師甚少而且人員流動大，主課老師兼職情況也比較普遍。具體表現在：

給出一個例子來說明定理2.3中的對應關系.

(1) Research on the teaching function of UltraLab network experiment

例 2.2設n=3,則6的1-2有序分拆中分部量1出現In-place偶數次的有序分拆與正整數4的有序分拆之間的對應關系如下:

當然,由定理2.3的證明很容易得到下面的恒等式.

推論 2.1正整數 2n的 1-2有序分拆中第一個分部量是 1,且分部量 1出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數n的有序分拆數.

推論 2.2正整數 2n的 1-2有序分拆中最后一個分部量是 1,且分部量 1出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數n的有序分拆數.

推論 2.3正整數 2n的 1-2有序分拆中第一個分部量是 2,且分部量 1出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數n的有序分拆數.

推論 2.4正整數 2n的 1-2有序分拆中最后一個分部量是 2,且分部量 1出現In-place偶數次的有序分拆數等于正整數n的有序分拆數.

接下來,考慮回文的有序分拆,得到下面的恒等式.

定理 2.4正整數2n的1-2有序分拆中分部量1出現In-place偶數次的回文有序分拆數等于正整數n+1的回文有序分拆數.

定理2.4的證明類似于定理2.3,故略去.這里給出一個例子來說明定理2.4.

例 2.3設n=3,則正整數 6的分部量 1出現 In-place偶數次的有序分拆有下面 4個:(2,2,2),(1,1,1,1,1,1),(1,1,2,1,1),(2,1,1,2).而4的回文有序分拆是:(1,1,1,1),(4),(2,2),(1,2,1).