空間分數階半經典Schr?dinger方程解的高振蕩行為

孫蘇珍,王冬嶺

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

經典Schr?dinger方程是量子力學中的一個基本方程,也是量子力學的一個基本假定,它描述了微觀粒子的狀態隨時間變化的規律.半經典量子力學界于經典物理和量子物理之間,運用到了量子力學量子化的概念,但同時并沒有摒棄經典物理中的一些理念,是經典力學過渡到量子力學中的產物.在半經典量子力學中,物質運動狀態有一條近似的經典軌跡,同時也會受到不可忽略的量子效應擾動.從數學方程角度來看,由于單個粒子的狀態高度集中在某條近似經典軌跡的附近,波函數會在局部形成強烈的高振蕩,即半經典 Schr?dinger方程的解具有局部高振蕩特征.對于半經典Schr?dinger方程的研究,文獻[1-7]在這方面做了很多工作.

整數階Laplace方程基于經典的布朗運動假設,分數階Laplace方程基于粒子運動的 Lévy過程,Lévy過程有利于刻畫粒子的非局部特征,于是許多學者開始重視研究分數階 Laplace方程.文獻 [8]利用 Rieze位勢給出了 (??)s的定義,至此人們開始對分數階Laplace方程展開了豐富的研究并獲得了大量成果.文獻[12]給出了分數階Laplace算子基本解,為之后研究分數階Laplace方程解的性質奠定了基礎.文獻[9]給出了(??)s的最大值原理,文獻[10]研究了分數階Laplace方程解的正則性.目前,分數階Laplace算子在自然科學領域已經有了重要的應用.分數階導數是一個非局部算子,與整數階微分方程相比,能更好地描述具有長程效應的物理現象和動態過程.

首先簡單介紹幾種分數階Laplace的定義方法[11]:

(i)定義在Rn上的分數Laplace算子是一個具有非局部性的擬微分算子,形式如下:

其中α∈(1,2)是任意實數,Cn,a是依賴于空間維數n和α的常數,該算子定義在S空間,即由Rn光滑速降函數構成的Schwarz空間.

(ii)在S空間中,也可以用Fourier變換來等價地定義分數階Laplace算子:

其中F(u)是u的Fourier變換.當α=2時,分數Laplace算子退化成經典的Laplace算子,當1<α<2時,該分數階Laplace算子為非局部算子.

(iii)還可以將算子延拓到廣義函數空間

其中該空間內積定義如下

(iv)還可以通過考慮在Rn×[0,+∞)的以下問題來定義Laplace算子:

其中C=C(n,a)是一個合適的正常數,詳見文獻[12].本文用Fourier變換來定義分數階Laplace算子.

選擇譜方法(Galerkin譜方法[13]和擬譜方法[1-2])作為求解 Schr?dinger方程的首要數值方法,主要是因為譜方法有高精度,并且Schr?dinger方程本身具有譜算子特征.分裂算法是微分方程計算中常用到的一種方法,它將原方程分裂成幾個更簡單的方程,然后通過某種組合方式來構造出原方程的數值算法.分裂算法和擬譜算法的結合,可以同時具備顯格式,高精度,保結構的特點.由于Schr?dinger方程在空間方向是線性的,可以直接用譜方法進行空間離散變成線性常微分方程,并且勢函數可以精確求解,所以用分裂譜方法來求解Schr?dinger方程有很明顯的優勢.

本文主要通過分裂譜算法把文獻[14]中關于半經典整數階Schr?dinger方程解的高振蕩行為推廣到空間分數階Schr?dinger方程,并通過數值比較研究空間分數階階數α對解的高振蕩行為的影響.

2 整數階半經典 Schr?dinger方程

考慮d(d≥1)維線性 Schr?dinger（LS）方程:

其中u=u(x,t)是關于空間變量x和時間變量t的波函數,i是虛數單位,~是普朗克常數,V=V(x)是勢函數,(x,t)∈R+×?,??Rd是波函數在空間中的定義域.在線性 Schr?dinger方程中,當常數很小時,即 0

半經典的 Schr?dinger方程在許多應用中起著核心作用,是量子力學的基本模型[15].具有時間依賴勢的Schr?dinger方程在量子物理學和理論化學中具有重要意義,考慮具有時間依賴勢的半經典Schr?dinger方程的初值問題[14]

初值條件u(x,0)=u0(x),其中V是一個實值的,具有時間依賴的勢函數,0<ε?1是半經典參數.

(1)式描述了一個由電子和一個更大質量的粒子或粒子系統組成的系統,例如原子核或原子晶格,具有相互作用勢V,ε是電子和質量更大的系統質量之比的平方根.由于方程(1)是線性的,可直接對空間變量半離散化,將其轉化為線性ODE方程,然后通過計算矩陣指數來求解.但其中半經典參數ε的微小變化會引起解的快速震蕩,因此給數值離散帶來了很大的困難,解決這些困難既需要算法的靈活性也需要對原方程解的結構進行一定的分析和理解.一個很好的方法是用分裂譜方法,因為Schr?dinger方程在空間方向是線性的,可以直接用譜方法進行離散變成線性方程,并且分裂譜方法對整數階和分數階都有優勢,從而避免了分數階算子的非局部特征差分離散導致的滿矩陣帶來的計算量增加.

3 空間分數階半經典 Schr?dinger方程

4 數值試驗與分析

4.1 一維例子

根據上面的數值方法,首先考慮一維的數值例子,其中V(x)=2x2,初值條件

取x=[?π,π],N=1000,t=[0,0.5],M=500,通過分裂譜方法對空間分數階半經典 Schr?dinger方程進行數值計算,下圖為數值解u(x,t)及Re(u(x,t)),Im(u(x,t))的圖像,其中取各種參數ε,α進行比較分析.

圖 1 取 ε=10?2,α=2時對應的 Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖 2 取 ε=10?2,α=1.8時對應的 Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖3 取ε=10?2,α=1.6時對應的Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖4 取ε=10?2,α=1.2時對應的Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖5 取 ε=10?4,α=2時對應的 Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖6 取ε=10?4,α=1.6時對應的Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

從圖1-圖6可以看到,通過與整數階薛定諤方程的比較,當α不斷變小時,波函數在空間方向的振蕩頻率增高,振蕩寬度變小,峰值變大.說明空間分數階算子的階數α對于解的高振蕩特征具有明顯而直接的影響.空間分數階算子的非局部特征具有使得解的振蕩聚集的效應.改變勢函數為V(x)=1+cos(x),其他條件和上面例子相同,分別取不同的α,對應計算結果的圖像如下,從圖中不難發現和上面類似的結果,即空間分數階算子對于解的高振蕩產生顯著的影響和聚集效應.

圖7 取ε=10?1,Re(u(x,t))在α=2,1.95,1.9的圖像

圖 8 取 ε=10?1,Re(u(x,t))在 α=1.85,1.8,1.75的圖像

圖 9 取 ε=10?1,Re(u(x,t))在 α=1.7,1.6,1.2的圖像

圖10 取 ε=10?3,α=2時對應的 Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖 11 取 ε=10?3,α=1.6時對應的 Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

圖 12 取 ε=10?3,α=1.2時對應的 Re(u(x,t)),Im(u(x,t),u(x,t)圖像

4.2 二維例子

進一步考慮二維空間分數階半經典Schr?dinger方程的例子

其中 ?=[?4π,4π]2×(0,T],取T=4,N=250,M=400,同樣用分裂譜方法對其進行數值計算,分別取α=2,1.6,1.2,下圖為數值解及其等高線圖像.

圖13 取 ε=10?1,u(x,t)在α=2,1.6,1.2的數值解

圖14 取ε=10?1,u(x,t)在α=2,1.6,1.2數值解的等高線圖

圖15 取 ε=10?2,u(x,t)在α=2,1.6,1.2的數值解

圖16 取ε=10?2,u(x,t)在α=2,1.6,1.2數值解的等高線圖

圖17 取 ε=10?6,u(x,t)在α=2,1.6,1.2的數值解

圖18 取ε=10?6,u(x,t)在α=2,1.6,1.2數值解的等高線圖

對于二維情況,從計算結果可以看出,空間分數階算子對于解的振蕩也產生了明顯而直接的影響.當參數ε相對較大時,空間分數階算子對于解的振蕩的區域有著非常敏感的影響,隨著α的變小,振蕩區域開始擴散,振蕩的區域變大.但是當參數ε相對較小時,空間分數階算子對于解的振蕩的區域的敏感性降低,隨著α的變小,振蕩區域變小,振蕩特征逐步減弱,此時的分數階算子表現出光滑效應,即逐步消除振蕩的效果.當參數繼續變小取ε=10?6時,數值解基本上不再具有明顯的振蕩特征.