淺談高中數(shù)學(xué)形成性測(cè)試卷命題
——以一套期中試卷的命制為例

上海市建平中學(xué) 李傳峰

上海市建平中學(xué) 張永華

高中數(shù)學(xué)測(cè)試所用到的形成性測(cè)試卷（包括周考、月考、期中考、期末考、章節(jié)考等），其測(cè)試目的主要是反饋教學(xué)情況，進(jìn)而反哺教學(xué).

因此“好”的測(cè)試卷，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生對(duì)各知識(shí)點(diǎn)掌握的程度，評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)能力（數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)），評(píng)價(jià)教師教學(xué)的效果，發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)中的不足（學(xué)生學(xué)習(xí)中的不足）.

筆者以不久前的高二第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（C層）為例.

命題內(nèi)容：極限與無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和、向量、矩陣與行列式、直線與線性規(guī)劃.

考試對(duì)象：高二年級(jí)C層315名同學(xué).

學(xué)情介紹：C層的同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和能力較好.

試卷基本情況：試卷類型是筆試，試卷長(zhǎng)度21題（填空題12道，選擇題4道，解答題5道），試卷滿分100分，測(cè)試時(shí)間90分鐘.

期望通過(guò)率（合格率）達(dá)到0.8，期望優(yōu)良率0.3左右，期望平均分71分左右.

筆者以為，一套好的數(shù)學(xué)形成性測(cè)試卷至少要考慮以下四個(gè)方面：知識(shí)點(diǎn)、難度、試題創(chuàng)新度、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查.

一、知識(shí)點(diǎn)

該指標(biāo)包含兩個(gè)方面：

1.知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率是否全面

知識(shí)點(diǎn)覆蓋率是非常重要的指標(biāo)，雖然不可能達(dá)到百分之百，但筆者以為即使是考查范圍比較廣的期末考試，基本知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率也不應(yīng)低于70%.

本次命題，課程標(biāo)準(zhǔn)中的19個(gè)知識(shí)點(diǎn)試卷中考到了17個(gè)，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋率約為90%.

2.知識(shí)點(diǎn)在試卷中的分布是否合理

課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)的難度要求在試卷中是否合理呈現(xiàn)，重點(diǎn)知識(shí)的考查是否到位.

如何在命題中落實(shí)這些指標(biāo)，筆者認(rèn)為要用好雙向細(xì)目表.（1）通過(guò)雙向細(xì)目表確定本次考查的重點(diǎn)知識(shí)；（2）通過(guò)雙向細(xì)目表選擇合適的題型來(lái)落實(shí)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查.

本次命題，筆者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求確定考試的重點(diǎn)是直線部分，難點(diǎn)是向量部分，填空題的11、12題和解答題的21題均以直線和向量為背景，把重點(diǎn)和難點(diǎn)的考查落實(shí)到位.

二、難度

1.形成性測(cè)試試卷難度的一般原則

關(guān)于本次試卷的總體難度，筆者確立了三條原則：（1）期望平均分71分左右；（2）及格率在0.80-0.90之間；（3）盡可能不出現(xiàn)滿分.

經(jīng)過(guò)多年的命題反饋，筆者發(fā)現(xiàn)滿足這三條原則的試卷有以下好處：

（1）成績(jī)區(qū)分度較好；（2）可以較好地反饋教師教和學(xué)生學(xué)的真實(shí)情況；（3）有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情（學(xué)困生和學(xué)優(yōu)生都容易得到激勵(lì)）.

本次考試的結(jié)果（統(tǒng)計(jì)人數(shù)315人）：最低分43，最高分97，平均分73分，及格率0.86，優(yōu)秀率（85分及以上）0.13.

2.調(diào)控試卷難度的幾點(diǎn)建議

要想命制一套整體難度合理的試卷，需要注意以下幾點(diǎn).

（1）教師在平時(shí)教學(xué)中通過(guò)學(xué)生的課堂反應(yīng)和作業(yè)質(zhì)量對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的情況進(jìn)行較準(zhǔn)確的評(píng)估.

（2）命題時(shí)要認(rèn)真考慮以下三點(diǎn)：①考查內(nèi)容的多少和難度；②學(xué)生是否充分復(fù)習(xí)；③認(rèn)真預(yù)測(cè)每一題的難度，從而獲得試卷整體難度的預(yù)測(cè).

（3）先命壓軸題，再根據(jù)壓軸題的難度確定其他題目難度.

三、試題創(chuàng)新度

試卷的題目來(lái)源有三類：陳題、改編題、原創(chuàng)題.

筆者在命卷時(shí)，基礎(chǔ)題多用陳題或改編題，而較難的題目多用改編題和原創(chuàng)題.特別是壓軸題（填空題最后兩道，解答題最后一道）是原創(chuàng)題.這種設(shè)置既有利于提高試卷的效度，又有利于提高試卷的信度.

本次考試筆者編制了三道原創(chuàng)題.（注：題號(hào)均為原試卷中的題號(hào)）

11.在向量a=（x，y）的右邊乘以一個(gè)矩陣A2×2，按向量的乘法規(guī)則相乘以后得到一個(gè)新的向量a0，我們把這個(gè)運(yùn)算過(guò)程稱為對(duì)向量a實(shí)施了一次右矩陣變換.直線l1：y=ax+2上任意一點(diǎn)P（x，y）確定向量通過(guò)矩陣對(duì)向量實(shí)施右矩陣變換后得到向量，點(diǎn)P1的坐標(biāo)（x0，y0）滿足y0=3x0-b，若直線l2：a1x+b1y+1=0和l3：a2x+b2y+1=0相交于點(diǎn)T（3a，b），則過(guò)點(diǎn)E（a1，b1），F(xiàn)（a2，b2）的直線l4的方程是______.

參考答案：x+6y+1=0.

命題說(shuō)明：本題分三段，第一段學(xué)生通過(guò)閱讀學(xué)習(xí)“右矩陣變換”的概念，運(yùn)用右矩陣變換完成由向量（x，y）到向量（y，x）的“對(duì)稱變換”；第二段的運(yùn)算形式上是考查“直線關(guān)于直線對(duì)稱”，實(shí)質(zhì)上筆者的意圖是把直線的知識(shí)點(diǎn)與高一上學(xué)期學(xué)習(xí)的有關(guān)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系和整合，此處實(shí)質(zhì)上是一次函數(shù)y=ax+2與y=3x-b互為反函數(shù)，因此通過(guò)反函數(shù)運(yùn)算更簡(jiǎn)單，通過(guò)這種設(shè)計(jì)，豐富運(yùn)算能力考查的層次性；第三段主要是考查思維能力，看學(xué)生對(duì)直線方程的理解是否達(dá)到一定高度.通過(guò)綜合三個(gè)知識(shí)點(diǎn)從而提高題目的難度，既考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握，又考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).

圖1

12.如圖1，△ABC中，BC=1，D為BC的中點(diǎn)，AD=1，O1為AD的中點(diǎn)，取線段DO1的中點(diǎn)O2，線段的DO2的中點(diǎn)O3，線段的DO3的中點(diǎn)O4，…，線段DOn-1的中點(diǎn)On（n為大于1的自然數(shù)），令ti=n），當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{tn}的各項(xiàng)和等于______.

命題說(shuō)明：

涉及知識(shí)點(diǎn)：向量平行四邊形法則、三角形法則、等比數(shù)列、無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查：數(shù)學(xué)抽象和直觀想象.

圖2

（1）求直線CD的方程；

（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在平行四邊形ABCD的邊BC和CD上運(yùn)動(dòng)，且EF∥BD，求的取值范圍；

（3）試寫(xiě)出三角形PCD區(qū)域（包括邊界）所滿足的線性約束條件，若在該區(qū)域上任取一點(diǎn)M，使，試求λ+μ的取值范圍.

命題說(shuō)明：

涉及知識(shí)點(diǎn)：直線方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)、平面向量分解定理、線性規(guī)劃.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查：數(shù)學(xué)建模.

四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查

文學(xué)中的小說(shuō)有所謂的明線（索）和暗線（索），其實(shí)命數(shù)學(xué)試卷和寫(xiě)小說(shuō)一樣，也有明線索——數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的考查，和暗線索——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)方法和能力）的考查，除了在雙向細(xì)目表中列出每題要考查的知識(shí)點(diǎn)，筆者喜歡如文2和文3那樣把每一道題所要考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)方法和能力）也列出來(lái)，這樣等整張?jiān)嚲沓龊靡院?，可以從整體上分析明線——基礎(chǔ)知識(shí)考查和暗線——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)方法和能力）考查，從而整體判斷本張測(cè)試卷的知識(shí)覆蓋率和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)方法和能力）覆蓋率.

五、結(jié)束語(yǔ)

筆者所在學(xué)校對(duì)測(cè)試卷的命題質(zhì)量有一套評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，雖然不一定非常科學(xué)，但體現(xiàn)了對(duì)命題評(píng)價(jià)的重視和有益探索.評(píng)價(jià)內(nèi)容分四個(gè)方面：試卷創(chuàng)新度、試卷達(dá)成度、試卷知識(shí)點(diǎn)覆蓋率和試卷勘誤率，每一個(gè)評(píng)價(jià)方面再細(xì)化出操作細(xì)則.

當(dāng)然，由于學(xué)生差異、教材差異和學(xué)校差異，具體用什么樣的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)試卷，還需要各位教育同仁根據(jù)各自的實(shí)際情況進(jìn)行探索.