最值問題求解五法

甘肅省高臺縣第一中學 徐德軍

最值問題，歷來是教學中的重點，也是學生學習的難點，這類問題靈活多變，綜合性極強.求解這類問題必須講究方法與策略，否則往往會感到無從下手.因此，在教學中，教師應“授之以漁”，教會學生最值問題必須掌握的基本方法.結合教學實踐，筆者歸納了最值問題求解的五個方法，以供參考.

一、判別式法

對于函數y=f（x），利用函數與方程思想將其變形為a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，把方程中的y看作參數，當a（y）≠0時，這個方程必有實數解，于是它的判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，由此，可求出y的取值范圍，即原函數的值域.

例1 實數x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設s=x2+y2，則的值為______.

又x2+y2=s，所以x2，y2是方程的兩個實根.

點評：判別式法是方程思想在最值問題中的應用，利用這種方法解題的關鍵是構造關于某個變量的二次方程.本題從韋達定理的逆向運用出發，構造了一個以t為主元，s為參數的二次方程，從而通過判別式大于等于零求得參數的最值，體現了數學思維的創新性.

二、函數的單調性法

利用函數的單調性，往往可以求出較為復雜的函數的值域.在某個區間上，如果可以判斷函數單調，那么它的值域就是由兩個端點處的函數值構成的區間，如果在某個區間上不單調，我們可以借助導數，先確定它的單調區間，再求每一個單調區間上函數的最值，通過最值大小的比較來確定函數在這個區間上的值域.

點評：利用函數的單調性研究函數最值的關鍵是確定函數的單調性，通常有兩種方法，一是直接利用單調性定義，通過作差法判斷；二是利用導數來確定函數的單調性，這個方法幾乎適用于任何函數，但求解過程比較冗長.

三、基本不等式法

如果a1，a2是兩個正數，那么必有當且僅當a1=a2時，等號才成立，這就是基本不等式.基本不等式雖然是求最值的有力工具，但必須滿足三個必要條件，這三個條件就是“一正、二定、三等”，它們缺一不可.“正”是指各項均為正數，這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成立的條件.

例3 若n∈N，a，b∈R+，且滿足a+b=2，那么的最小值是______.

當且僅當a=b=1時，上式才能取到等號.

點評：利用基本不等式求最值時，一定要注意等號能否取到，這一點往往被忽視.如果等號取不到，就應回到第二種方法，即研究函數的單調性，利用函數的單調性研究函數最值.

四、換元法

換元法，是數學解題最常見的方法之一，此法也可用在函數的值域問題中.對于某些函數式，我們可以把某一個部分看成一個整體，再用新元來替換，這樣可以起到化繁為簡、化生疏為熟悉的目的.最常見的換元方法有兩種，即三角代換和代數代換，無論哪種換元，都體現了數學解題中的化歸思想.

（2）實數x，y適合條件1≤x2+y2≤2，則函數s=2x2+3xy+2y2的值域是______.

（2）由已知可設，x=kcosθ，y=ksinθ，其中1≤k≤，則s=2x2+3xy+2y2=2k2cos2θ+3k2sinθcosθ+2k2sin2θ=2k2+k2sin2θ.

點評：換元的目的是為了利用熟悉的方法求最值.本例第（1）題的換元是為了利用基本不等式求最值，而本例第（2）題的換元是將問題轉化為三角函數的最值問題.利用換元法求最值一定要對解題過程具有預見性，即需明確解題目標，否則，換元就會失去作用.

五、幾何法

函數的表達式一般產生于實際問題，有時也產生于幾何圖形.對于某些二元函數，如果我們能挖掘它的幾何意義，那么利用圖形就能直觀地找到解題思路.

圖1

當P（x，y）在x2+y2=1（y≥0）上移動時，求A（-2，-1）與P（x，y）兩點連線AP的斜率的最值（如圖1）.從圖中不難發現，當P與B（1，0）兩點重合時，直線AP的斜率的值最小，這時kAB=當直線AP與x2+y2=1（y≥0）相切時，直線AP的斜率的值最大.

設kAP=k，則直線AP的方程為y+1=k（x+2）.

因為直線AP與上半個單位圓x2+y2=1（y≥0）相切，所以dOP=，解得k=0（舍去）或

點評：本題代數式的形式具有斜率公式的特征，于是將其轉化為解析幾何中的直線與圓的位置關系問題.以數思形，這種解法體現了數形結合思想在最值問題中的靈活應用.

所謂方法，其實就是前人解題經驗的總結.在教學中，教師應該起到承前啟后的作用，不僅要將最值問題的經典方法傳授于學生，同時也要引導學生發現新的方法，只有這樣才能后浪推前浪，青出于藍而勝于藍.W