不等式恒成立，參數值妙求解
——2019年全國卷Ⅰ文第20題

浙江省金華第一中學 吳賢盛

不等式中的恒成立問題能夠很好地考查函數、不等式等相關知識，以及函數與方程、化歸與轉化等數學思想，一直備受命題者的青睞，是各級各類考試中的熱點問題之一.此類問題一般位于選擇題或解答題的壓軸題位置，難度一般為中偏高檔或高檔層次.經常出現的題目類型是不等式恒成立的證明、不等式恒成立條件下的參數值或取值范圍的求解等.

一、真題在線

【高考真題】（2019年全國卷Ⅰ文20）已知函數f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）為f（x）的導數.

（Ⅰ）證明：f′（x）在區間（0，π）內存在唯一零點；

（Ⅱ）若x∈［0，π］時，f（x）≥ax，求a的取值范圍.

本題考查導數的應用，求導公式和法則、函數的零點、不等式恒成立等知識，考查推理論證能力、運算求解能力，以及分類與整合思想、函數與方程思想等.巧妙地把導數及其應用、三角函數、函數及其零點、不等式恒成立、參數的取值范圍等相關問題加以交匯與融合，綜合考查知識與能力.

二、真題解析

解析：（Ⅰ）方法1：（官方標答——函數單調性法）

設g（x）=f′（x），則g（x）=cosx+xsinx-1，g′（x）=xcosx.

所以f′（x）在區間（0，π）內存在唯一零點.

方法2：（零點存在性定理法）

由題意得f ′（x）=2cosx-［cosx+x（-sinx）］-1=cosx+xsinx-1.

設g（x）=f′（x）=cosx+xsinx-1，則有g′（x）=xcosx.

所以根據零點存在性定理，可知f′（x）在區間（0，π）內存在唯一零點.

（Ⅱ）方法1：（官方標答——函數單調性法）

由題設知f（π）≥aπ，f（π）=0，可得a≤0.

由（Ⅰ）知，f′（x）在（0，π）內只有一個零點，設為x0，且當x∈（0，x0）時，f′（x）＞0；當x∈（x0，π）時，f ′（x）＜0.所以f（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，π）上單調遞減.

又f（0）=0，f（π）=0，所以，當x∈［0，π］時，f（x）≥0.

又當a≤0，x∈［0，π］時，ax≤0，故f（x）≥ax.

因此，a的取值范圍是（-∞，0］.

方法2：（構造函數法）

若x∈［0，π］時，f（x）≥ax，即f（x）-ax≥0恒成立.

設函數h（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-（a+1）x，則h′（x）=cosx+xsinx-1-a，h″（x）=xcosx=g′（x）.

①當a≤-2時，h′（x）min=h′（π）=-2-a≥0，即h′（x）≥0在區間［0，π］上恒成立，則h（x）在區間［0，π］上單調遞增，則有h（x）≥h（0）=0，即f（x）-ax≥0，此時f（x）≥ax恒成立.

又h（0）=0，h（π）=-aπ≥0，則知h（x）≥0在區間［0，π］上恒成立，即f（x）≥ax恒成立.

所以，當x∈［0，x2）時，h（x）＜h（0）=0，可知f（x）≥ax不恒成立.

綜上分析，可知a的取值范圍是（-∞，0］.

圖1

方法3：（數形結合法）

由（Ⅰ）知，f′（x）在區間（0，π）上存在唯一零點x0，使得f′（x0）=0，且當x∈（0，x0）時，f ′（x）＞0；當x∈（x0，π）時，f′（x）＜0.

所以f（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，π）上單調遞減.

又f（0）=0，f（π）=0，所以，當x∈［0，π］時，f（x）≥0.

設函數h（x）=ax，作出函數圖像，如圖1所示.

由于f（x）≥ax=h（x）在區間［0，π］上恒成立，則有a≤0.

因此，a的取值范圍是（-∞，0］.

方法4：（分離參數法）

若x∈［0，π］時，f（x）≥ax，等價于2sinx-xcosx-x≥ax（*）在區間［0，π］上恒成立.

①當x=0時，（*）式即為0≥a×0，顯然成立，此時有a∈R.

②當x ≠0 時，即x ∈（0，π］，（*）式可化為a ≤

設函數h（x）=2xcosx-2sinx+x2sinx，則h′（x）=x2cosx，x∈（0，π］.

當x∈（0，x0）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；當x∈（x0，π］時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減.

綜上分析，可知a的取值范圍是（-∞，0］.

三、規律總結

破解此類含參不等式恒成立問題的方法較多，比較常見的思維方式就是利用分離參數法來處理，在能夠判斷出參數的系數的正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式，只要研究變量表達式的最值即可.此時，求解含參不等式恒成立問題的關鍵是過好“雙關”：第一關是轉化關，即通過分離參數法，先轉化為f（a）≥g（x）（或f（a）≤g（x））對任意x∈D（定義域）恒成立，再轉化為f（a）≥g（x）max（或f（a）≤g（x）min）；第二關是求最值關，即求函數g（x）在區間D上的最大值（或最小值）問題.

而有些含參不等式恒成立問題，在分離參數時會遇到討論的麻煩，或者即使分離出參數，但參數的最值卻難以破解，此時常借助導數法，通過求導，分析函數的單調性，通過對函數單調性的分析確定函數值的變化情況，找到參數滿足的對應的不等式，往往也能取得意想不到的效果.