用法向量求二面角大小的一個問題

湖北省襄州一中 李繼武

在用法向量求二面角時，必須解決一個問題：所求得的兩個半平面的法向量的夾角，是等于二面角的大小，還是等于此二面角的補角的大小？這取決于兩個法向量的方向.

為區分二面角兩個半平面的法向量的方向，先定義一個“向內法向量”和“向外法向量”概念.

結論1：設向量m和n分別是二面角α-a-β的面α和β的法向量.若m和n都向該二面角內，或都向該二面角外，則向量夾角〈m，n〉與二面角α-a-β的平面角互補；若m和n一個向二面角內，另一個向二面角外，則〈m，n〉與二面角α-a-β的平面角相等.

證明：設P為二面角α-a-β內一點，PH和PR分別與半平面α，β垂直，垂足H∈面α，R∈面β，設過PH和PR的平面與棱a交于點Q，連接HQ，RQ，得到平面四邊形PHQR，其中有兩個對角是直角.因為，這里向外向內向外向內.在四邊形PHQR中，∠HQR+∠P=π，即∠HQR+=π，且∠HQR+=π；又顯然cos=-cos，所以，即∠P+=π.得∠HQR=，同理∠HQR=，這就證明了，若m和n都向該二面角內，或都向該二面角外，則向量夾角〈m，n〉與二面角α-a-β的平面角互補；若m和n分別是二面角α-a-β“向內”和“向外”的法向量，則〈m，n〉與二面角αa-β的平面角相等.

圖1

例1 如圖1，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E是C′D′的中點，求二面角A-B′E-A′和A-B′E-C′的大小.

解析：以AB的方向為x軸正方向，AD的方向為y軸正方向，AA′的方向為z軸正方向，建立坐標系.如圖1所示，則A（0，0，0），B′（1，0，1），E，C′（1，1，1）.取平面ABCD的一個法向量n=（0，0，1），平面AB′E的法向量m=（x，y，z）由得x+z=0，由得則設θ=〈m，n〉，則cosθ=對于兩補鄰二面角都向外，而m對于二面角A-B′E-A′向外，對于二面角A-B′E-C′向內.

圖2

例2 如圖2，直四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是菱形，AA′=4，AB=2，∠BAD=60°，E，F分別是BC和AA′的中點.求二面角F-ED′-C的大小.

解：如圖2，以D點為原點，DA的方向為x軸的正方向，DE的方向為y軸的正方向，DD′的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），D′（0，0，4），C（-2，，0），E（0，，0），F（2，0，2），=（0，，-4），=（2，0，-2）（-2，0，0）.設面D′EC的法向量為m=（x，y，z）.由得-2x=0，由，得y-4z=0.所以m=取面D′EF的法向量n=（x1，y1，z1）.由=0，得y1-4z1=0得2x1-2z1=0.所以n=由定義知，平面D′EC的法向量m和平面D′EF的法向量n都向二面角F-ED′-C外.由結論1知，法向量夾角與二面角互補.cos〈n，m〉=

例3 四邊形ABCD是正方形，E，F分別是AD和BC的中點.把△CDF沿DF折起，使得點C到點P的位置，且PF⊥BF.

（1）求二面角D-PF-C的大小；

（2）求二面角B-PC-D的大小；

（3）設G點是AD邊上的點，求二面角G-PB-C為鈍二面角、直二面角、銳二面角時G點的位置.

圖3

解：（1）如圖3，因為E，F分別為正方形ABCD的邊AD，BC的中點，所以BC⊥EF.又BC⊥PF，所以BC⊥平面PEF.所以AD⊥平面PEF，則AD⊥PE.設正方形ABCD的邊長為2.在Rt△PDE中，PD=2，DE=1，所以PE=.又EF=2，PF=1，所以△PEF是直角三角形，∠EPF=90°.因為平面PEF⊥平面ABCD，作PH⊥EF與EF交于H點，則PH⊥平面ABCD.求得PH=.現以D點為原點，DA，DC分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），C（0，2，0），設平面PFC的法向量為m=（x，y，z），平面PDF的法向量為n=（x1，y1，z1）.由m·得，由得0，取得一組解是.由n·得，由得取得一組解是x=-6，y=3，因此設〈m，n〉=θ，則cosθ=，所以θ=60°.由于m向二面角外，n向二面角內，由結論1知θ就等于二面角的大小.即二面角D-PF-C的大小為60°.

（2）B（2，2，0），E（1，0，0），C（0，2，0），P設平面PBC的法向量為m=（x，y，z），平面PEB的法向量為n=（x1，y1，z1）.由得2x=0，x=0，由得z=0，得m=.由得x1+2y1=0，由得，令y1=1，則x1=-2，z=0，故得到n=（2，1，0），于是兩向量夾角的余弦值cos〈m，n〉=可見m向二面角外，n也向外，由結論知，二面角B-PC-D為鈍角π-arccos