追根溯源，巧妙構(gòu)造輔助函數(shù)解選擇壓軸題

廣東省廣州市天河中學(xué) 王翠娜

全國高考選擇題大多以函數(shù)壓軸.近兩年來，隨著使用全國卷的省份越來越多，我們不難發(fā)現(xiàn)，選擇題中以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式或比較大小或求取值范圍的壓軸題已經(jīng)成為各地模擬題的熱點(diǎn).但是這類題目需要學(xué)生有敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力和熟練的代數(shù)變形能力，成為學(xué)生學(xué)習(xí)和考試的難點(diǎn).只有抓住問題的本質(zhì)特征，才能從根本上解決問題.隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，高考越來越重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和核心素養(yǎng)，這更需要我們追根溯源，回歸根本.本文以微專題的形式談一談如何構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題.請看下面的題目：

1.（2018屆天河區(qū)一模理）設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x2；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜x；若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）.

A.［-2，2］ B.［2，+∞）

C.［0，+∞） D.（-∞，-2］∪［2，+∞）

2.（2018屆天河區(qū)二模理）已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足：（1）f（x）＞0；（2）2f（x）＜f ′（x）＜3f（x）（其中f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則的取值范圍為（ ）.

第1題我校平均分為1.532，難度系數(shù)為0.307，第2題我校平均分為2.312，難度系數(shù)為0.4089.經(jīng)過了一個(gè)學(xué)期的復(fù)習(xí)，這樣的題目也做過不少，平均分并沒有提高多少，況且里邊還存在一些同學(xué)碰運(yùn)氣猜對的情況，真正會做的就更少了.根本原因是學(xué)生沒有抓住最本質(zhì)的東西，不知道從哪里下手構(gòu)造函數(shù)，甚至完全沒有思路.此類題的解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決.而如何根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是解決這類問題的關(guān)鍵.這也是全國高考題對能力考查的創(chuàng)新，本質(zhì)上是視角的轉(zhuǎn)換.我們的復(fù)習(xí)就是要用創(chuàng)新應(yīng)對創(chuàng)新，用轉(zhuǎn)換適應(yīng)轉(zhuǎn)換.在試題創(chuàng)新背后，一定存在著穩(wěn)定的東西.備考者要沿著命題者的思路回到原點(diǎn)，感受知識到能力的過程，把隱性的解題經(jīng)驗(yàn)顯性化、算法化.本文以探求最本質(zhì)的根源，尋找最一般的解題思路為出發(fā)點(diǎn)，追根溯源，回歸根本.

一、追根溯源（基本導(dǎo)數(shù)公式）

公式1：設(shè)F（x）=f（x）±g（x），則F′（x）=f′（x）±g′（x）.

公式2：設(shè)F（x）=f（x）·g（x），

則F′（x）=f ′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）.

公式4：設(shè)F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x）.

公式6：設(shè)F（x）=xn·f（x），

則F′（x）=nxn-1f（x）+xn·f′（x）=xn-1［nf（x）+xf′（x）］.

公式8：設(shè)F（x）=ex·f（x），則F′（x）=ex［f（x）+f′（x）］.

二、變形拓展（規(guī)律總結(jié)）

1.若已知條件為f（x）+f′（x）的“加”型結(jié)構(gòu)：

（1）f′（x）+g′（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）.

（2）f ′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）·g（x）.

（3）f（x）+f′（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=exf（x），［exf（x）］′=ex［f（x）+f′（x）］.

（4）f（x）+xf′（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），［xf（x）］′=f（x）+xf′（x）.

（5）xf′（x）+nf（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=xn·f（x），［xn·f（x）］′=nxn-1f（x）+xn·f′（x）=xn-1［nf（x）+xf′（x）］.

2.若已知條件為f（x）-f′（x）的“減”型結(jié)構(gòu)：

（1）f′（x）-g′（x）≥0，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）.

（2）f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，構(gòu)造函數(shù)

以上是常用的構(gòu)造技巧，但具體還要聯(lián)系已知條件和結(jié)論，結(jié)合f（x）和f′（x）的關(guān)系式，以及根據(jù)不等式的“形狀”適當(dāng)變形來選擇構(gòu)造形式.但一定要明確題目給出的f′（x）的關(guān)系式，這是我們要構(gòu)造的函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的一個(gè)因式，我們就是根據(jù)這個(gè)來思考問題的.請看下面幾個(gè)例子.

例1 定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞2x恒成立，則不等式f（4-x）+8x＜f（x）+16的解集為（ ）.

A.（2，+∞） B.（4，+∞）

C.（-∞，2） D.（-∞，4）

解析：學(xué)生不知道條件f ′（x）＞2x怎么用.其實(shí)根據(jù)f ′（x）＞2x，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x2，則g′（x）=f′（x）-2x＞0，g（x）在R上單調(diào)遞增.

g（4-x）=f（4-x）-（4-x）2=f（4-x）-16+8x-x2，所以不等式f（4-x）+8x＜f（x）+16?g（4-x）+16+x2＜f（x）+16?g（4-x）＜f（x）-x2=g（x）?4-x＜x，從而得解.特別注意求解的不等式與構(gòu)造的輔助函數(shù)之間的關(guān)系.

例2 （2007年陜西卷理）已知f（x）是（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且xf ′（x）-f（x）≤0，對任意正數(shù)a，b，若a＜b，則（ ）.

A.bf（a）≤af（b） B.af（b）≤bf（a）

C.af（a）≤f（b） D.bf（b）≤f（a）

例3 已知定義在R 上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）

A.（-2，+∞）B.（0，+∞）C.（1，+∞）D.（4，+∞）

例4 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），其導(dǎo)數(shù)為f′（x），且滿足f（x）>0，f（x）

解析：處理本題的關(guān)鍵是合理利用f（x）

例5 設(shè)函數(shù)f ′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（0）=1，且3f（x）=f ′（x）-3，則4f（x）>f ′（x）的解集為（ ）.

解析：利用“減”型結(jié)構(gòu)里的公式6，這里m=1，n=3，f ′（x）=3［f（x）+1］.構(gòu)造函數(shù)g（x）=，所以g（x）為一個(gè)常數(shù)函數(shù)，且g（0）==2，所以g（x）=，即f（x）=2e3x-1，f′（x）=6e3x.因?yàn)?f（x）>f′（x），所以4（2e3x-1）>6e3x.所以e3x>2.所以lne3x>ln2，所以x>.故選B.

復(fù)習(xí)時(shí)可以采用微專題的形式，讓學(xué)生先從幾個(gè)簡單題入手，直接套公式，構(gòu)造法的原理先掌握住，再靈活變形遷移，由易到難，思維提升，可以很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，取得較好的復(fù)習(xí)效果.

例6 已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且滿足以下條件：

以上幾題構(gòu)造函數(shù)的過程，遵循高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念“倡導(dǎo)積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式”，可以讓學(xué)生對照公式自己構(gòu)造出來，“讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”.這幾題會做了，天河區(qū)一模和二模的題自然就不是問題了.從題目中“提煉”出反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上思考，我們才能品味到它們的必然性！當(dāng)學(xué)生看到類似的題目時(shí)，能有一種“一覽眾山小”的感覺，那么我們的復(fù)習(xí)就成功了.