兩道平面向量題的巧換角度與多方突破

湖北省小池濱江高級中學 汪亞洲

湖北省小池濱江高級中學 王蓬勃

向量是近代數學中的一個重要內容，它與代數、三角、幾何聯系緊密，能很好地考查學生的思維能力，它經常出現在試卷的選擇、填空題中，有很強的區分度.下面筆者就今年出現的幾道平面向量測試題，從不同的角度進行解析，希望能給讀者帶來收獲，同時也懇請讀者提出寶貴的意見和建議，以便于我們對問題進行改進和技術水平的提高.

例1 （2019年7月中學生標準學術能力測試第12題）若平面向量a，b，e滿足｜a｜=2，｜b｜=3，｜e｜=1，且a·b-e·（a+b）+1=0，則｜a-b｜的最小值為（ ）.

解法一：（從分析法的角度考慮），要求｜a-b｜的最小值，只要求｜a-b｜2的最小值，而｜a-b｜2=a2-2a·b+b2=13-2a·b，所以只需求a·b的最大值.又已知條件得a·b=e·（a+b）-1，由兩向量數量積的定義知：a·b=e·（a+b）-1≤｜e｜·，所以，移項后平方得（a·b）2≤12.所以，即a·b的最大值為，至此｜a-b｜2的最小值為

故選B.

點評：分析法就是執果索因，一步一步地為結論的成立尋找充分條件.題目中要求模，只需求模的平方，要求模的平方，只用求a·b的最大值，然后結合已知條件進行變形和放縮，最后求出結果，解法一很好地體現了數學的逆向思維.

解法二：（利用向量不等式｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜）由已知得a·b+1=e·（a+b），等式兩邊取模｜a·b+1｜=｜e·（a+b）｜≤｜e｜·｜a+b｜=｜a+b｜，即｜a·b+1｜≤｜a+b｜，不等式兩邊平方得｜a·b+1｜2≤｜a+b｜2，展開即（a·b）2+2a·b+1≤a2+2a·b+b2，所以（a·b）2≤12，從而，故｜a-b｜2=a2-2a·b+b2=13-.所以

故選B.

點評：因為｜cosθ｜≤1，所以｜a·b｜=｜a｜｜b｜｜cosθ｜≤｜a｜·｜b｜，我們把｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜稱為向量不等式，在求向量的模的最值的時候，不能忘了向量不等式，在這里筆者同時也給出向量三角不等式｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，以備后來要用到.

解法三：（利用平行四邊形中的一個重要定理）在平行四邊形中｜a-b｜2+｜a+b｜2=2（｜a｜2+｜b｜2），即對角線的平方和等于四條邊的平方和.

因為（a+b-e）2=a2+b2+e2+2a·b-2a·e-2b·e=a2+b2+e2+2［a·b-e·（a+b）］=12，所以由向量三角不等式得｜（a+b）-e｜≥｜a+b｜-｜e≥｜a+b｜-1，所以｜a+由平行四邊形中的一個重要定理：｜a-b｜2+｜a+b｜2=2（｜a｜2+｜b｜2）得｜a+b｜2=2（｜a｜2+｜b｜2）-｜a-b｜2≤1）2，故26-｜a-b｜2≤13+4所以｜a-b｜2≥13-4即｜a-b｜≥

故選B.

點評：在平行四邊形中，對角線的平方和等于四條邊的平方和，這是教材上出現的一個普通的定理，然而總被我們忽視，在解法三中就巧妙地用到了這個定理，只是多了一個靈活變形的步驟而已

圖1

例2 如圖1，若C，D在半徑為1的⊙O上運動，線段AB是⊙O的直徑，求的取值范圍.

解法一：（坐標法）

以AB所在的直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立如圖1所示的坐標系，設C（cosθ，sinθ），D（cosφ，sinφ）.因為A（-1，0），B（1，0），故

點評：坐標法是求數量積的范圍的最佳方法，本題把線段AB的兩個端點放在x軸上是明智之舉，接下來的輔助角公式也很巧妙，到最后換元才是關鍵.

圖2

圖3

解法三：（投影法）

點評：投影法就是用到向量數量積的幾何意義，本題通過數形結合推出：當DE⊥AE并與圓相切時當D與A重合，C與B重合，即與反向且模長均為直徑時

解法四：（三角法）

設∠AOC=α，∠COD=β，∠BOD=γ.

求最小值的過程（此略）.

點評：在用到三角法證明不等式cosA+cosB+cosC≤時，用到了“和差化積”與“積化和差”公式，這就要求我們對公式記憶得相當準確，否則容易出錯.

總結：平面向量是一個重要工具，在考試時，它有時以壓軸題的形式出現，讓考生望而生畏，筆者從今年的夏令營試題與期末測試題中，精選出上面的兩道又新又好的試題，并采用一題多解的形式，歸納出了多種解法，以供大家參考借鑒：①平方法；②投影法；③三角換元法；④萬能建系法；⑤構造模型法；⑥極化恒等式法；⑦矩形大法；⑧幾何法.因為通過一題多解，可以將所學的知識進行快速地整合，形成一定的解題經驗，然后用這些經驗去解決這一章其他的問題，這也是筆者寫這篇文章的目的所在.W