幾種常見的三角函數(shù)求值方法的總結(jié)*

海口市瓊山華僑中學 李 武

三角函數(shù)求值是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，高考中經(jīng)常考查三角函數(shù)求值問題.在近幾年的高考命題中，三角函數(shù)的求值一般是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，而學生在解決此類問題時常常不能快速針對題目特點選擇相應的解題方法.為了便于學生復習三角函數(shù)求值問題，本文將三角函數(shù)中常見的幾種問題給出相應的解題方法.

一、三角函數(shù)定義求值法

在三角函數(shù)求值問題中最基本的一種求值是已知tanα、sinα、cosα中的某一個三角函數(shù)值，求另外一個三角函數(shù)值，可選用定義法解題.

分析：由已知條件可知，解決此問題可以直接通過定義法或者利用三角函數(shù)的基本公式進行解題.

注意：當遇到一些特殊角的三角函數(shù)值時，可以先根據(jù)題意得到角再求值而不需要用定義法求值.

二、未知角由已知角表示求值法

定義1：若題目中要對某個角求三角函數(shù)值，則稱該角為未知角.

定義2：將題目中已給出的某個角的函數(shù)值，以及能得到函數(shù)值的特殊角統(tǒng)稱為已知角.

類型1：已知條件只給出一個角的三角函數(shù)值，當未知角和已知角消去參量α后得到一個特殊角則可用此法.

分析：因為2α-2（α-π）=2π，所以2α=2π+2（α-π）.而2π是個特殊角，所以可用此法.

解：cos2α=cos［2π+2（α-π）］=cos2（α-π）=1-

類型2：若條件給出兩個角的三角函數(shù)值，則未知角通常可由已知角線性表示.

三、構(gòu)造tan型求值法

定義3：三角函數(shù)分式指的是分子分母中都含有三角函數(shù).

定義4：三角函數(shù)整式指的是式子中分母不能含有三角函數(shù).

類型1：已知條件給出tanα的值或者給出一個三角函數(shù)分式的值，求tanα的值或是求三角函數(shù)分式的值時，則可考慮用構(gòu)造tan型，但要注意三角函數(shù)分式中的分子和分母每一項必須要同次冪.

類型2：已知條件給出一個三角函數(shù)整式的值，求tanα、三角函數(shù)分式或整式的值則可考慮用構(gòu)造tan型求值，但要注意三角函數(shù)整式要轉(zhuǎn)化成分式并且要求三角函數(shù)分式中的分子和分母每一項必須要同冪.

例6 已知sin2α+3cos2α=2.

（1）求tanα的值；

分析：sin2α+3cos2α=2是個三角函數(shù)整式方程，所以根據(jù)類型2的條件先將三角函數(shù)整式化為分式并要求分式中分子分母的每一項要同冪.

即tan2α=1，

解得tanα=±1.

（2）由（1）可得tanα=±1.

所以當tanα=1時，原式=0；

當tanα=-1時，原式=2.

類型3：已知條件給出一個三角函數(shù)整式的值但當將整式轉(zhuǎn)變?yōu)榉质胶蠓肿臃帜该恳豁棽荒芡瑑纾藭r就先考慮將已知的整式升冪使得分子分母每項同冪再進行解題.

解得tanα=7或tanα=1.

從多個角度對三角函數(shù)求值進行探索處理，總結(jié)歸納題目特點，巧妙地把此類題目的底蘊充分挖掘出來，從多角度出發(fā)，多方面求解，多層次拓展，體現(xiàn)了數(shù)學從探索到解決問題的技能.W