高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)、立體幾何部分問題分析研究

江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 江雪梅

三角函數(shù)和立體幾何部分是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，堪稱高中數(shù)學(xué)的兩大巨頭，更是高考數(shù)學(xué)試題的熱門考點(diǎn)，它們占據(jù)了大量的試題分值，是當(dāng)之無愧的兩大巨頭.研究這兩部分知識在高考數(shù)學(xué)試卷中的題目分布、出題類型，總結(jié)高考數(shù)學(xué)這兩部分考題的解題注意事項(xiàng)，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績和今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的針對性具有重要的意義.

一、2018年高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分問題分析

1.三角函數(shù)部分考題概述

三角函數(shù)部分是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，高考對三角函數(shù)部分知識的考查主要涵蓋誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和及二倍角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)等.在2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試題中，單獨(dú)考查三角函數(shù)計(jì)算的問題僅有16題一題，其他關(guān)于三角函數(shù)的問題均是與其他知識點(diǎn)相結(jié)合，考查學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)去解題的能力.

2.三角函數(shù)部分問題分析

三角函數(shù)的部分是很多學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在解答高考中三角函數(shù)問題時(shí)，要靈活應(yīng)用三角函數(shù)的相關(guān)知識，對三角函數(shù)題目進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，將不常見的三角函數(shù)問題，轉(zhuǎn)變成常見的三角函數(shù)問題.

例1 （2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)16題）已知α和β均為銳角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

問題解析：（1）在求cos2α的值時(shí)，首先要根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系對原三角函數(shù)進(jìn)行變形，從而求出cos2α，然后再利用二倍角的余弦公式求出結(jié)果.因?yàn)椋M(jìn)而得出，又因?yàn)閟in2α+cos2α=1，進(jìn)而得出

（2）利用二倍角正切公式求出tan2α，再利用兩角差正切公式求出tan（α-β）的值.已知α和β均為銳角，可以得知α+β的取值范圍為（0，π），又因?yàn)樗运詔an（α+β）=-所以tan（α-β）=tan［2α-（α+β）］=

例2 （2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)17題）圖1所示的是一塊農(nóng)田，它的邊界是由圓O的一段圓弧MPN（P為圓弧的中點(diǎn)）和MN構(gòu)成，其中圓O的半徑為40米，P到MN的距離為50米，現(xiàn)在要在農(nóng)田上建立兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為三角形DCP，要求A、B均在線段MN上，C、D均在圓弧上，OC與MN所成夾角為θ.

圖1

圖2

（1）用θ分別表示出矩形ABCD和三角形DCP的面積，并確定出sinθ的取值范圍.

（2）如果在大棚Ⅰ中種植甲種蔬菜，在大棚Ⅱ中種植乙種蔬菜，甲、乙兩種蔬菜的單位面積產(chǎn)值之比為4∶3，求θ取什么值，能夠使得甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

問題解析：這道題主要是考查學(xué)生三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.在本道題的第一問中，首先要根據(jù)給定的已知條件來求出矩形的長和寬、三角形的底和高，然后根據(jù)矩形面積公式和三角形面積公式列出相關(guān)的關(guān)系式，最后結(jié)合生活實(shí)際，限定sinθ的取值范圍.具體過程如下：

（1）連接PO，使其延長線交MN于點(diǎn)H，則PH⊥MN，OH=10.過O點(diǎn)作OE⊥BC交BC于點(diǎn)E，那么OE∥MN，則∠COE=θ，OE=40cosθ，EC=40sinθ，那么矩形ABCD的面積=2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），三角形CDP的面積sinθcosθ）.過點(diǎn)N作GN垂直MN，交圓弧于點(diǎn)G，交OE的延長線于點(diǎn)K，那么GK=KN=10，令∠GOK=θ0，那么sinθ0=當(dāng)才能夠滿足條件中矩形ABCD的要求，sinθ的取值范圍為

（2）根據(jù)已知條件甲、乙兩種蔬菜的單位面積產(chǎn)值之比為4 ∶3，設(shè)甲單位面積年產(chǎn)值為4k，乙單位面積年產(chǎn)值為3k，那么甲、乙兩種蔬菜年總產(chǎn)值為4k×800·（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ-sinθcosθ）=8000k·，設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈，那么f ′（θ）=cos2θ·sin2θ·sinθ=-（2sin2θ+sinθ-1）=-（2sinθ-1）·（sinθ+1）.令f ′（θ）=0，則，當(dāng)θ∈時(shí)，f ′（θ）＞0，f（θ）是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，f（θ）取最大值，因此，當(dāng)時(shí)，能夠使得甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

3.三角函數(shù)部分問題小結(jié)

對于高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)類問題，考生需要認(rèn)真審題，明白題目要考查的主要內(nèi)容，不要盲目的分析.要靈活運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像，對需要變形的函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對那些不需要轉(zhuǎn)換的三角函數(shù)問題，在解題的時(shí)候要有依據(jù)，可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、數(shù)形結(jié)合等思想方法，切不可想當(dāng)然.

二、2018年高考數(shù)學(xué)立體幾何部分問題分析

1.立體幾何部分考題概述

立體幾何問題是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)，它幾乎涉及了高考數(shù)學(xué)的所有題型，是每年高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，也是學(xué)生必須要拿下的題型.從2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷來看，立體幾何部分的題目主要有第10題、第15題、第22題，占據(jù)分值為29分，可謂是具有舉足輕重的地位.從對學(xué)生知識的考查來看，主要涉及對幾何體的理解、對不同幾何體隱含條件的理解與應(yīng)用、直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關(guān)系、空間向量、異面直線所成角和線面角等知識.

2.立體幾何部分問題分析

對于立體幾何部分問題，學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力是解題的基礎(chǔ)，要能夠準(zhǔn)確地把握目標(biāo)圖形的特點(diǎn)，尋找圖形中的隱含條件，結(jié)合其他的數(shù)學(xué)知識完成解答.

圖3

例3 （2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)10題）如圖3所示，正方體的棱長為2，那么以所有面中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體的體積是多少？

問題解析：解決這一問題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確把握題目中幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對于那些不規(guī)則立體幾何圖形，能夠利用割補(bǔ)法將它們轉(zhuǎn)變?yōu)榫邆溆?jì)算公式的幾何圖形，最終完成求解.該題中的幾何圖形就可以看成是兩個(gè)全等的正四棱錐組成的幾何體，先求出其中一個(gè)正四棱錐的體積，然后就知道這個(gè)多面體的體積，從而可以順利完成求解.

3.立體幾何部分問題小結(jié)

立體幾何部分的問題相對較為簡單，是學(xué)生必須要拿分的問題.在解決這類問題的時(shí)候，要充分利用立體幾何的性質(zhì)、概念、定義去尋找解題的思路和方法.當(dāng)涉及空間向量的問題時(shí)，要先把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量運(yùn)算后，再將向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，以此完成求解.對于涉及空間直角坐標(biāo)系的問題，首先要建立空間直角坐標(biāo)系，列出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后借助向量坐標(biāo)和向量的相關(guān)知識來完成求解.