數學模型在購房貸款中的應用

廣東省廣州市第七中學 黃佳泰

貸款購房是人們生活中常見的消費貸款方式之一，尋求最優的貸款方案，為購房決策提供依據具有重要意義.目前，銀行主要提供兩種房貸還款方式：等額本金還款和等額本息還款.

等額本息還款，是指把按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分攤到還款期限的每個月中，每個月按照相等（固定）的金額進行還款.

等額本金還款，是指把按揭貸款的本金總額平均分攤到每個月內，同時付清上一交易日至本次還款日之間的利息.這種還款方式相對等額本息還款而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負擔逐月遞減.

一、提出問題

購房者李某向中國工商銀行貸款100萬元，貸款期限為20年或30年，2019年中國工商銀行五年期以上銀行貸款年利率為4.9%，規定按月還款.還款方式有兩種，一是等額本息還款法，二是等額本金還款法.購房者可根據自身情況選擇其中一種還款方式.那么購房者李某應選擇哪種貸款期限，哪種還款方式所支付的還款總額更劃算？

二、明確變量參數，模型假設

設銀行貸款a萬元，貸款期限為n個月，貸款月利率為r，每個月還款為x萬元，第n個月（0≤n）尚欠銀行本金為an，第n個月還款額為bn.采用等額本息還款方式所需支付的還款總額為Sa，采用等額本金還款方式所需支付的還款總額為Sb.

三、歸納變量關系，建立模型

（1）若采用等額本息還款方式，則有：

第1個月還款后，所欠銀行的本金是a1=a-（x-a·r）=a（1+r）-x；

第3個月還款后，所欠銀行的本金是a3=a2（1+r）-x=

……

由數學歸納法和等比數列求和公式可得，第n個月還款后，所欠銀行的本金為an=an-1（1+r）-x=a（1+r）n-

所以當貸款還清時，an=0，由此可得：

因此，采取等額本息還款法經n個月還清貸款時，總還款額Sa為：

（2）若采用等額本金還款方式，則有：

……，

由數學歸納法可見，每月歸還的還款額構成等差數列，且公差為

根據等差求和公式可得，第n個月后共歸還銀行的還款額Sb為：

四、問題求解

由年利率4.9%可得，月利率為0.40833333333%.下面分別把r=0.40833333333%，a=100萬元代入上面的數學模型則有：

當n=240時，

當n=360時，

經過以上計算可知，在不考慮其他因素的情況下，購房者李某選擇貸款期限為20年，采取等額本金還款方式的貸款策略最劃算，僅需要149.204167萬元即可.F