動中取靜，巧妙破解
——以2019年浙江卷第21題為例

江蘇省宿遷中學(xué) 徐士權(quán)

圓錐曲線中，涉及三角形面積的最值問題非常常見，有時單獨確定三角形面積的最值，有時通過兩個三角形面積的代數(shù)關(guān)系式的綜合來確定最值，變化多端，一直是高考數(shù)學(xué)的常見題型之一，是備受命題者、教師與學(xué)生關(guān)注的焦點問題之一，難度一般中等偏上及較難.此類涉及三角形面積的最值問題，往往通過點、直線、曲線的位置關(guān)系的變換來構(gòu)造相應(yīng)的單個或多個三角形，利用點在圓錐曲線上的移動，充分體現(xiàn)了解析幾何中動與靜的完美統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)知識的有機融合與交匯.

一、真題在線

【高考真題】（2019年浙江卷21）如圖1，已知F（1，0）為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點.過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且點Q在點F的右側(cè).記△AFG，△CQG的面積分別為S1，S2.

圖1

（Ⅰ）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

本題是一個多動點問題，關(guān)鍵在于找到點與點、點與直線之間的關(guān)系，通過一個點的坐標(biāo)去表示其他點與直線，從而找到這些點的關(guān)系，通過三角形面積公式的轉(zhuǎn)化與合理運算，利用基本不等式的應(yīng)用來達(dá)到破解的目的.此問題切入點較多，通過三角形面積的變換，往往運算量比較大，容易導(dǎo)致錯誤，因此運算時要加以合理變換，可先進行有效換元處理，降低次數(shù)，再通過相應(yīng)的函數(shù)、不等式等思維來確定對應(yīng)的最值問題.

二、一題多解

（Ⅱ）方法1：（官方答案——設(shè)點法）

設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG）.

令yA=2t，t≠0，則xA=t2，由于直線AB過焦點F，故直線AB的方程為代入y2=4x，得故2tyB=-4，即所以又由于及重心G在x軸上，故0，得所以直線AC的方程為y-2t=2t（x-t2），得Q（t2-1，0）.

由于點Q在焦點F的右側(cè)，所以t2＞2，從而令m=t2-2，則m＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值此時G（2，0）.

點評：通過設(shè)點法處理，過程看似簡單，其實當(dāng)中求解對應(yīng)的點的坐標(biāo)、化簡三角形面積的比值等過程時，都進行了大量的運算與變形，計算量較大，并且煩瑣.而當(dāng)中合理的換元變換，有效降低了次數(shù)，為正確利用基本不等式求解最值提供了條件.

方法2：（官方答案改進——焦點弦性質(zhì)法）

設(shè)A（t2，2t），t≠0，根據(jù)焦點弦性質(zhì)可得結(jié)合yC）及重心G在x軸上，故可得由三點A，Q，C共線，可得，解得Q（t2-1，0）.

由于Q在焦點F的右側(cè)，所以t2＞2，從而令m=t2-2，則m＞0，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值此時G（2，0）.

點評：通過設(shè)點法處理，在原來方法1的條件中，直接利用焦點弦性質(zhì)來確定對應(yīng)的坐標(biāo)，省去求解相應(yīng)的直線方程的過程.

方法3：（設(shè)點法）

設(shè)直線AB的方程為x=my+1（m＞0，否則不符合題意），聯(lián)立消去參數(shù)x，整理可得y2-4my-4=0，解得，且y1+y2=4m，y1y2=-4.所以y3=-4m.由于點Q在焦點F的右側(cè)，故，可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)3m2=m2+1，即亦即時等號成立，當(dāng)時，取得最小值，此時G（2，0）.

點評：通過設(shè)點法與直線AB的方程x=my+1的處理，雙管齊下，利用點的關(guān)系把相應(yīng)的點的坐標(biāo)都表示為m的關(guān)系式，結(jié)合三角形面積的關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，以及含有m的關(guān)系式的恒等變換，再巧妙利用基本不等式來處理.

三、規(guī)律總結(jié)

涉及三角形面積的最值問題一般背景直觀生動，知識內(nèi)容豐富，綜合性比較強，充分將相關(guān)的點、直線、曲線等知識有效地融為一體，要求有較強的綜合能力與應(yīng)變能力，充分考查能力與素養(yǎng)，強化學(xué)生的運算技巧，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).破解問題時，無論是設(shè)置直線方程求解，還是設(shè)置點的坐標(biāo)求解，其關(guān)鍵是正確來表示出相應(yīng)的三角形的面積，再結(jié)合對應(yīng)參數(shù)的關(guān)系式合理運算與轉(zhuǎn)化，巧妙利用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等方法來求解對應(yīng)的最值問題.F