在變形與觀察中聯系通性通法
——對一類壓軸試題的教學思考

湖北省十堰東風高級中學 黃祥兵

湖北省十堰市教育科學研究院 程世平

數學教學離不開解題，解題教學是數學教學的重要組成部分，提高學生的解題能力也是提高學生數學核心素養的重要途徑.各種考試的壓軸試題通常設計的思維層次較高，運算也較復雜，如何使學生在壓軸試題的解題上有所突破，如何使學生在解壓軸題時能有章可循，是我們在習題教學中需要重點解決的問題.下面就一類壓軸題談談如何通過變形與觀察把復雜的數學問題與我們所熟知的通性通法有機地結合起來，讓學生在變中求進、進中求通，用常規方法解決高難度的數學問題.

例1 （高三五月聯考題）已知函數f（x）=（ex-1）（xb），F（x）=x3+mx2+nx-2，若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=（e-1）（x-1），不等式F′（x）+3＜0的解集為非空集合其中e為自然對數的底數.

（Ⅰ）求f（x）的解析式，并用a表示m，n；

（Ⅱ）若對任意x≥0，不等式2f′（x）≥F（x）恒成立，求實數a的取值范圍.

解法一：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（x）=x3-2ax2+（a2-3）x-2，由f′（x）=xex-1得2f′（x）≥F（x）?x［2ex-（x-a）2+3］≥0，由非空集合得a＜0.

令g（x）=2ex-（x-a）2+3，則g′（x）=2（ex-x+a），又令h（x）=2（ex-x+a），則有h′（x）=2（ex-1）≥0，所以h（x）在［0，+∞）上為增函數，且h（x）min=h（0）=2（a+1）.

①當-1≤a＜0時，h（0）≥0，g′（x）≥0恒成立，即g（x）在［0，+∞）上為增函數，則有g（x）≥g（0）=5-a2≥0，得，結合-1≤a＜0得-1≤a＜0.

圖1

②當a＜-1時，則?x0＞0，使h（x0）=0且x∈（0，x0）時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，即g（x）在（0，x0）上單調遞減；x∈（x0，+∞）時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，即g（x）在（x0，+∞）上單調遞增，所以g（x）min=g（x0）.所以只需滿足g（x0）=2ex0-（x0-a）2+3≥0.又h（x0）=2（ex0-x0+a）=0，從而2ex0-（ex0）2+3≥0，解得0＜x0≤ln3，由ex0-x0+a=0?a=x0-ex0，令M（x）=x-ex，0＜x≤ln3，M′（x）=1-ex＜0，所以M（x）在（0，ln3］上單調遞減，則M（ln3）≤M（x）＜M（0），即ln3-3≤M（x）＜-1，故ln3-3≤a＜-1.

由①②可知a的取值范圍為［ln3-3，0）.

解法分析：（1）本解法用到了分類討論的數學思想，邏輯清晰、層次清楚，但整個過程對學生的綜合能力要求較高，在分類討論的基礎上利用了二次求導和整體代換.

（2）分類討論凸顯了思維的嚴謹性，但很容易出錯，在利用導數解決問題的過程中，涉及選擇新變量，構造新函數，再以導數為工具求a的取值范圍.

（3）整個討論圍繞著求函數g（x）=2ex-（x-a）2+3的最小值.

圖2

①當a+3＜0，即a＜-3時，x∈［0，+∞）時，φ′（x）≤0，函數φ（x）在［0，+∞）上為減函數，

所以φ（x）max=φ（0）=，解得與a＜-3矛盾，此時a∈?；

②當a+3≥0，即a≥-3時，x∈［0，a+3］時，φ′（x）≥0，函數φ（x）在［0，a+3］上為增函數，x∈［a+3，+∞）時，φ′（x）≤0，函數φ（x）在［a+3，+∞）上為減函數，所以φ（x）max=φ（a+3）≤2，解得ln3-3≤a＜0滿足a≥-3，即ln3-3≤a＜0.

由①②可知a的取值范圍為［ln3-3，0）.

（2）模式很重要，解題中若出現f′（x）+f（x）自然會聯想到ex·f（x）；若出現f′（x）-f（x）自然會聯想到；若出現xf′（x）+f（x）自然會聯想到xf（x）；若出現xf′（x）-f（x）自然會聯想到等.

（3）方法很重要，解題中若出現恒成立的問題，自然會結合變量分離，只是怎樣分離變量，本題中就是變形成的形式來進行類似于變量的分離，本解法就是通過變形來聯系通性通法.

例2 （2019年全國卷）已知函數f（x）=sinx-ln（1+x），f ′（x）為f（x）的導數.證明：

圖3

（Ⅱ）f（x）有且僅有2個零點.

證明：（Ⅰ）設g（x）=f′（x），

（Ⅱ）f（x）的定義域為（-1，+∞）.

①當x∈（-1，0］時，由（Ⅰ）知，f ′（x）在（-1，0）上單調遞增，而f ′（0）=0，所以當x∈（-1，0）時，f ′（x）＜0.故f（x）在（-1，0）上單調遞減，又f（0）=0，從而x=0是f（x）在（-1，0］的唯一零點.

④當x∈（π，+∞）時，ln（x+1）＞1，所以f（x）＜0，從而f（x）在（π，+∞）上沒有零點.綜上所述，f（x）有且僅有2個零點.

圖4

解法分析：（1）本題為2019年全國卷Ⅰ的第20題，該題設計新穎，考查學生靈活利用函數導數知識解決問題的能力.

（2）第二問分類討論，情況較多，標準要求清晰，難度較大，分四種情況是根據數形結合的思想方法對問題的嚴謹分析推理，具體的分析過程是：在同一坐標系內作出h（x）=sinx和k（x）=ln（x+1）的簡圖，（0，0）是兩函數的一個交點，且k（e-1）=1，那么若f（x）有且僅有2個零點，則意味著f（x）在x∈（-1，0），x∈上沒有零點，x∈時f（x）有一個零點，這樣的分析就是我們分四類討論的依據.

（3）基于以上結合圖形的分析，我們證明問題的步驟才會清晰明了.

一道好的數學試題一定會強化通性通法，淡化特殊技巧，并且不偏不怪，考查學生思維的靈活性和對數學知識和方法的熟練應用，以上例1是衡水中學的5月聯考題，解法一是常規解法，分類討論求函數的最小值，然后研究新函數，求a的取值范圍；解法二是我們重點強調的，通過變形與觀察轉化成求的最小值問題，而是我們需要重點掌握的函數模型，它的導數與0的大小關系通常可以轉化為多項式函數與0的大小關系，而多項式函數是我們所熟知的函數，那么這一復雜的數學問題就轉化為了我們熟知的函數模型，數學中很多與ex有關的問題都可以這樣去轉化；例2是2019年的高考試題，學生普遍覺得很難，難在不知道零點到底在哪里？若學生有意識地把零點問題轉化為函數圖像的交點問題，通過分析可順利地把區間分為四段，每一段上的研究就是常規的用導數研究函數.

壓軸題是拉開差距、區分學生層次的試題，題目千變萬化，但不是不能應對，我們需要做的就是加強對各類問題的歸納與提煉，整合出不同的通法模型，具體解題時，學生需要通過變形與觀察聯系平時所研究的通法模型，因此，我們平時的教學要注重通性通法的教學，以及學生觀察與轉化能力的培養，提高學生的數學素養，讓學生在應對復雜的數學問題時有章可循.F