培養高中生思維品質的案例與思考*

江蘇省天一中學 潘 干

思維能力與品質是智力發展的核心和支柱，數學知識在人的發展中或許會被遺忘，但數學學習過程中形成的思維品質卻始終會對其一生產生深遠的影響.高中學生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、廣闊性、批判性、獨創性會在數學學習中獲得飛速發展，高中數學教師應著眼于將學生數學思維品質的發展落實到有意義的數學思考、教材鉆研和教法探究.

一、思維靈活性的培養

視野開闊并能多維發散是思維靈活性的具體體現，一般來講，一題多解、一題多變是培養學生思維靈活性的常用手段.

1.一題多解

習題課教學是發展學生思維多維發展的有利平臺，教師應對習題進行仔細的斟酌并引導學生運用所學知識提出不同的解題構想，引導學生對知識之間的縱橫聯系進行梳理與構建并挖掘出更加簡捷、巧妙的解法.

例1 已知

請探討可能產生的結論？

探索1：①2+②2可得兩角差的余弦公式）

探索2：①×②，再和差化積得sin（α+β）［cos（α-β）+

探索3：①2-②2，再和差化積得2cos（α+β）［cos（α-β）

探索5：由sin2α+cos2α=1消去α可得消去β可得

開放題的引入能引導學生對題目條件、條件之間的關系、結論均展開不同深度與層次的思考，幫助學生在綜合變換解題手段中提升思維的靈活性.

2.一題多變

確定問題結構并對已知條件進行變形以培養學生思維的靈活性.

由等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d，知道其中三個變量即可求得第四個變量.如“{an}是等差數列，a1=1，d=-2，則常數-9是第幾項？”給予充分的空間并引導學生自主編題，學生只有全面掌握所涉及的知識才能在變式編題中更顯游刃有余.隨心所欲，胡編亂造顯然會鬧出笑話.一旦學生將上題改成“a1=1，d=-3，則常數-9是第幾項？”求得自然是不對的.給予學生足夠的空間并嘗試自主變式編題能使學生更好地理解n∈N*，以及等差數列及其求和公式的知識，思維也更靈活.

二、思維深刻性的培養

善于從事物現象中發現本質并揭示事物關系與聯系中的規律即為思維深刻性的體現.

例2 方程sinx=lnx的解有（ ）個.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：利用解方程解題是學生的常規想法，但卻在此題上行不通.換角度思考：此題實質上就是求方程組的公共解，利用數形結合的思想串聯知識并挖掘事物的本質可使此題得解，發展了學生思維的深度.

三、思維廣闊性的培養

培養學生思維的廣闊性就是要引導學生在充分分析題意的基礎上，調動、選擇相應知識對問題展開全面的分析并尋求解題關鍵.

例3 已知某二次函數的對稱軸是直線x=-1，其圖像在y軸上的截距是2，在x軸上截得的線段長是4，求二次函數的解析式.

解法1：截距是2，因此選擇一般式方程y=ax2+bx+c（a≠0），有c=2，結合其他條件，列方程組即可解得a、b.

解法2：因對稱軸是直線x=-1，選擇頂點式方程y=a（x-m）2+k（a≠0），有m=-1，結合其他條件，列方程組即可解得a、k.

另外，根據圖像的對稱性可得，該函數與x軸相交于點（1，0）、（-3，0）.

解法3：根據截距是2，即過（0，2）、（1，0）、（-3，0）三點，選擇一般式方程y=ax2+bx+c（a≠0），代入點的坐標，列方程組即可求得a、b、c的值.

解法4：聯想一元二次方程、二次函數的關系并選擇兩根式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），則x1=-3，x2=1.根據截距2，求得a的值.

四、思維敏捷性的培養

具備快速而準確的思維品質能使運算與推理過程更為簡捷.

例4 已知某平行四邊形的相鄰兩邊邊長是a和b，繞a邊旋轉所得幾何體的體積是V1，繞b邊旋轉所得幾何體的體積是V2，則V1∶V2=（ ）.

圖1

A.a ∶b B.b ∶a C.a2∶b2D.b2∶a2

分析：直接求解，如圖1，可得V1=πab2sin2θ，V2=πa2bsin2θ.

但若將此平行四邊形視作矩形來解題，解題則會更加簡捷.

五、思維獨創性的培養

新穎、善于應變的獨創性思維能幫助學生獲得富有個性的見解，能使學生養成自覺質疑、探索的意識.

例5 求三角式：sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值.

解法2：令x=sin210°+sin250°+sin10°sin50°，y=cos210°+cos250°+cos10°cos50°，則x+y=2+cos40°，x-y=-cos40°-兩式相加得，則原式

解法3：作直徑為1的圓，構造角度為10°、50°、120°的圓內接三角形，則sin10°、sin50°、sin120°能構成三角形的三邊長.

逆用余弦定理：sin210°+sin250°-2sin10°sin50°·cos120°=sin2120°，原式

評注：解法1是常規的，解法2、3則在構思上更顯巧妙和獨特，教師在實際教學中應給予學生充分的探索空間以促進其思維與個性的發展.

六、思維批判性的培養

不盲從、不輕信并能對思維活動的各環節進行獨立分析、調整與校正，是學生具備思維批判性的具體體現.

分析：學生在解決這道典型中點弦題目時往往會想到點差法或韋達定理，求得直線方程y=2x-1，很多學生解題至此便以為結束了，但其實還需要驗證判別式Δ才行，把直線方程代入雙曲線方程可得Δ=-8＜0，直線與雙曲線并不存在交點.

教師在培養學生思維品質的過程中，首先，注意嚴謹、科學的教學活動的設計與落實，充分發揮自身的主導作用并對學生始終心存期待，讓學生充分感受到教師的鼓舞與期待并為了目標的實現而努力，教師對學生所持有的期待，以及落實的科學訓練方法能使學生的大腦發揮巨大的潛能.其次，教師還應隨時把握學生的思維動態并注意適時激疑，使學生能夠產生更加積極的思維并對問題展開更深層次的思考與探究.再次，教師應善于引導學生在各種問題與結論中揭示規律，使學生能夠在不斷的思考、探索、辨析與總結中獲得能力的提升.

總之，數學教師應該認識到數學學習對鍛煉學生思維的巨大價值，有目的、有意識地設計教學活動并做到常抓不懈，從而使學生的思維品質獲得全方面的發展.F