空間投影于高中數學教學中的運用與思考

江蘇省海安市曲塘中學 徐遠華

投影的價值眾所周知，人們利用投影算出了金字塔的高度及地球子午線的周長等，現代社會對投影的利用更為廣泛，繪畫、繪制立體圖形、教學等多個領域都用到了投影，投影在教學中所起到的作用極具獨特性.

一、凸顯幾何體的本質并促成學生建立直觀認知

投影的運用能使幾何體的正面、背面、側面、底面獲得展示并因此為學生提供多方位的觀察與研究，學生在獲得全面認知的過程中更容易了解幾何體的特征與性質并進行分析和思考.

不僅如此，運用投影并根據教學需要對幾何體的關鍵或主要部分進行凸顯展示，能使學生更好地突破學習難點并因此獲得茅塞頓開的感受.比如，淡化次要部分并凸顯圖形上的關鍵點、線、面，使學生能夠在更為純粹的幾何圖形中抽象出關鍵部分，使學生更加清楚地認識幾何體并因此把握圖形及其本質，使學生因此獲得由淺入深、由表及里、由粗到細的有效認識.

計算機的輔助作用在現代教育技術不斷發展的今天得到了充分的發揮，正投影的投影原理與三視圖的看圖方法在多媒體技術的支撐下得到了有機結合，聲音、圖像、動畫、文字因此融為一體并將幾何體的結構特征與性質清晰地展現在學生面前.不僅如此，生動的動畫演示還能將幾何體三視圖的形成與發展直觀而清晰地展現出來，使學生能夠在一目了然的直觀影響中迅速抓住幾何體圖形的本質特征，幾何體在學生頭腦中的表現也會因此變得清晰與豐富.

二、發展學生的想象能力與空間觀念

培養學生的空間觀念主要表現在以下幾個方面：（1）引導學生在空間幾何體和實物之間進行想象與轉化，具體來說就是幫助學生在具體實物中想象出幾何圖形，在幾何圖形中想象出實物形狀；（2）幫助學生根據幾何體的三視圖做出立體模型、畫出幾何圖形或反向轉化；（3）幫助學生學會從復雜圖形中分解、抽象出基本圖形并分析其中的基本元素和關系；（4）教會學生學會實物、幾何圖形運動與變化的表述；（5）使學生學會適當描述物體間的位置關系；（6）教會學生運用圖形形象描述問題并直觀思考問題.

投影實際上就是三維圖形在二維范疇內的顯現，利用平面圖形表示空間圖形的這一行為實際上是一種“降維”策略.利用投影將物體的空間形象轉化成投影形象能使學生的思維在空間形象與投影形象之間更好地轉化.例如，圖1 所示是一個立體模型的形狀，利用投影展示圖1 的三視圖能充分調動學生的空間想象能力并在頭腦中映射出其立體形狀.進一步操作更好，比如借助AutoCAD 繪圖軟件勾畫出物體三個簡單體的輪廓平面圖，再將其進行拉伸并展現出立體形狀，教師的這一操作能使學生清晰地獲得從平面圖形想象出立體圖形的方法.在此基礎上，教師還可以將圖2 中的圖形進行重新組合并以此發展學生的空間觀念.比如圖3 這一圖形就是把圖2 中的三個簡單體重疊而獲得的，圖4 就是圖2 中的三個簡單體做交運算而獲得的，把圖4 去掉兩個不同直徑的圓柱體就又可以獲得圖1 所示的圖形.這些觀察與操作都是建立在幾何體和三視圖之間相互轉化的基礎上的，從實物想象圖形，再從圖形想象實物，這之間的轉化能更好地開發學生的空間想象能力，并因此促成空間觀念的正確養成.

圖1

圖2

圖3

圖4

三、激發學生的自主探究與發現

教材中有以下一題：如圖5 是一三視圖輪廓的孔形樣板，你能找出一個塞子并使其能堵住樣板上的每個孔嗎？

從左向右對圖5 中的孔的投影進行觀察可知，三個圖形分別是圓、“⊥”與正方形，想象塞子的俯視圖、主視圖、左視圖可以發現它們是相吻合的，因此可以找出如圖6 所示的塞子.

圖5

圖6

對投影的原理進行有目的、有計劃的研究與思考并進行直觀觀察，可以使觀察者在有條理、有層次的觀察中產生疑惑，在問題的提出與思考中不斷增強感性認知.引導學生進行如此探究與發現能使其思維能力、觀察能力、空間想象能力獲得長足進步與發展.

四、積累投影知識

圖形直觀在空間解析幾何、高等幾何、微積分幾何、微積分、復變函數、群論等課程中都會得到充分的運用，在平面上正確繪制立體圖形、利用投影在平面上呈現立體圖形、借助平面圖形想象空間圖形、在空間想象中研究立體圖形的性質等行為都是學習立體圖形過程中的種種需要，積累投影知識的重要性及運用投影的價值性由此凸顯，因此，教師一定要積累相當多的投影知識并因此為學生的數學學習奠定基礎.比如下述理解投影運用的實際案例.

例如，如圖7 所示，四邊形ABCD 和A′B′C′D′都是正方形，且AB∥A′B′，求證：AA′、BB′、CC′三線共點.

圖7

如果運用初等幾何方法對此題進行證明，則必須先證明△ABC∽△A′B′C′，可得和BB′相交于點O），然后再根據與∠OBC=∠OB′C′進一步證明△OBC∽△OB′C′，然后再根據△OBC∽△OB′C′得出∠BOC=∠B′OC′，由此可得AA′、BB′、CC′三線共點.這一方法雖然也能令此題得證，不過證明過程顯然比較復雜.由此可見，積累一定的投影知識能夠幫助學生提升理論知識，利用更高的思維水平看待問題并簡化問題的解決，使學生利用更為豐富的直觀材料解決問題并對初等數學問題進行更加深刻地理解.

五、投影變換思想的運用

與社會生活、生產實際存在密切聯系的投影在醫學、工程設計、藝術、建筑和機械制圖等多個領域都得到了廣泛的運用，掌握一定的投影知識對適應社會生活是十分有必要的.

從思想方法的高度對問題進行理解或解釋并從解題的角度進行思考與把握，是人們解決問題時的一般思維和習慣，人們在解決問題的一開始一般不會局限在具體的細節上.因為建立在大層面上的問題思考與把握才能令人們更好地把握局部，以及準確的解題方向，只見樹木、不見森林的現象才會在問題的把握與解決中得到杜絕.

運用投影觀點對問題進行把握是從大方面對問題進行的思考，這種變換的觀點在思考問題中的運用中一樣是重要的思想方法.

例如，如圖8 所示，已知⊙O1、⊙O2相切于點P，切線A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2，且A1C1⊥B1C1，求證：點P、C1、C2共線.

圖8

根據圖形的特點可以發現把點P 看成投影中心，⊙O1、⊙O2則是以點P為投影中心的位似圖形，則過某點的切線也因此變成了過其對應點的切線，變換觀點地運用和思考令問題的解決異常清晰.

因為B1C1∥B2C2，因此可以把B1、B2看成為一對對應頂點.同理，A1、A2也是一對對應頂點.

因此，B1C1和B2C2、A1C1和A2C2都是對應切線.

由對應直線的交點也必是對應點這一性質可知，C1、C2必然也是對應點，因此點P、C1、C2共線.

解決上述問題就是充分利用了投影變換的思想，從一定高度對問題實質進行認識和理解，并跳過某些具體細節的解題辦法簡捷而有效.F