基于數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計*
——以“探究隱圓之源”為例

四川省自貢市教育科學(xué)研究所 張德榮

四川省綿陽南山中學(xué)校 何先俊

數(shù)學(xué)探究是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)核心內(nèi)容之一，探究性學(xué)習(xí)經(jīng)歷了一個從他主到自主的發(fā)展過程，探究性學(xué)習(xí)既需要能學(xué)、想學(xué)、會學(xué)、堅持學(xué)的內(nèi)部條件，更需要教師指導(dǎo)的外部條件.數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)分為課堂內(nèi)的探究性學(xué)習(xí)、課堂外的探究性學(xué)習(xí)及課堂內(nèi)外相結(jié)合的探究性學(xué)習(xí)三種.本文就學(xué)生課堂內(nèi)外相結(jié)合的探究性學(xué)習(xí)下的教學(xué)設(shè)計談一些想法.注：本堂課是高三第二輪復(fù)習(xí)課，學(xué)生是成績中等的理科班學(xué)生，有一定的自主學(xué)習(xí)與自主探究能力.

一、提出問題

（一）問題背景

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說：“圓是一切平面圖形中最美的圖形.”但在數(shù)學(xué)解題時，我們往往發(fā)現(xiàn)不了美麗的圓，因為很多時候圓是隱藏著的，但高考又經(jīng)常在此考點(diǎn)進(jìn)行考查，故我們有必要對這些知識進(jìn)行歸納、總結(jié).

“隱圓”，顧名思義，即隱藏著的圓，發(fā)現(xiàn)“隱圓”不僅需要一雙“發(fā)現(xiàn)美的眼睛”，更需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)在讓我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)各類隱圓，發(fā)掘隱圓之源，探究其解法，領(lǐng)略圓之美.

（二）明確任務(wù)

各位同學(xué)請在課外收集整理與“隱圓”相關(guān)的概念、試題，可以翻閱教材、查看近幾年的高考試題，也可以利用網(wǎng)絡(luò)工具，時間一周.

二、前期準(zhǔn)備

（一）探究內(nèi)容

（二）學(xué)生分組

全班61人中，收集情況如下：

將學(xué)生進(jìn)行分組，研究同一問題的學(xué)生分為一組，進(jìn)行探究，沒有成果的學(xué)生分入人數(shù)較少的一組.并根據(jù)所選試題的特征對各組的隱圓進(jìn)行命名.其中阿波羅尼斯圓由老師所命.

（三）展示要求

每個小組指定一名組長，由組長牽頭，再進(jìn)行課外探究，對收集的題型進(jìn)行整理，提煉典型例題、變式題，發(fā)現(xiàn)共性及一般性定義與解法.并制作簡略的投影文檔.

三、教學(xué)過程

（一）第一組：直徑式隱圓

隱圓來歷S1：我們做了很多張角為直角的試題，其中多數(shù)都可以用圓的相關(guān)知識解決.因為圓的直徑所對的圓周角為直角，其逆命題也成立，即在平面內(nèi)給定兩點(diǎn)A、B，設(shè)點(diǎn)C在同一個平面內(nèi)且滿足∠ACB=90°，則點(diǎn)C在以線段AB為直徑的圓上.

S2：我是從教材必修2第124頁上的一道作業(yè)題的證明過程得到啟發(fā)的：

已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A（x1，y1），B（x2，y2），求證此圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.此題的證明用直徑所對的圓周角是直角立即得到答案.

例1 （2014年北京卷7）已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1和兩點(diǎn)A（-m，0），B（m，0）（m＞0）.若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的最大值為______.

解：由直徑式隱圓知，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，于是此圓與圓C有交點(diǎn)，可知正確答案為6.

T：必須滿足張角是90°，才能用圓的方程進(jìn)行解決嗎？

S3：不一定，當(dāng)張角大于90°或小于90°時，動點(diǎn)軌跡是圓外或圓內(nèi)的區(qū)域，一樣可以解決.

（二）第二組：三角形與隱圓

隱圓來歷S1：我是由三角形的正弦定理想到三角形的外接圓的.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，根據(jù)正弦定理，△ABC外接圓的直徑

例2 （2014年全國卷Ⅱ文12）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是______.

解：｜ON｜=1，∠OMN=45°，由正弦定理知△OMN的外接圓直徑所以

T：本解法巧妙地避開了對極限位置的討論，準(zhǔn)確而簡潔.其關(guān)鍵之處是什么？

S2：我認(rèn)為本題關(guān)鍵之處是運(yùn)用正弦定理求出△OMN的外接圓直徑為定值，然后再根據(jù)線段OM的長度不大于外接圓直徑建立不等關(guān)系，從而求出x0的取值范圍.

（三）第三組：阿波羅尼斯圓

隱圓來歷S1：我是受必修2第124頁B組第3題的求解過程推向一般而得到的.

S2：我是直接由必修2第144頁B組第2題得到的.

T：以上兩位同學(xué)所說的圓有一個很好聽的名字“阿波羅尼斯圓”.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262—前190）在其著作《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：“在平面內(nèi)給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P在同一個平面內(nèi)且滿足當(dāng)λ＞0且λ≠1時，點(diǎn)P的軌跡是個圓.”我們稱這個圓為“阿波羅尼斯圓”，簡稱“阿氏圓”.

例3 （2013年江蘇卷17）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

（Ⅱ）若圓C上存在點(diǎn)M，使｜MA｜=2｜MO｜，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

解：（Ⅱ）可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，2a-4），則圓C的方程為（x-a）2+［y-（2a-4）］2=1.

因為｜MA｜=2｜MO｜，可得點(diǎn)M的軌跡方程為x2+（y+1）2=4，設(shè)為圓D.由條件知圓C和圓D有交點(diǎn)，所以｜2-1｜≤解得a的取值范圍為

四、開放性探究

（一）“蒙日圓”的探究

T：前面我們研究了三種隱圓，還有同學(xué)有其他結(jié)論嗎？

S1：老師，我在做2014年廣東卷第20題時，發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：

T：很好，經(jīng)查，橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在同一個圓上，這個圓我們稱之為“蒙日圓”.請同學(xué)們自己完成其證明.

例4 設(shè)直線l：3x+4y+a=0，圓（x-2）2+y2=2.若在直線l上存在一點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M能作圓的兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是______.

解：由題意知點(diǎn)M在圓（x-2）2+y2=4上，所以直線l：3x+4y+a=0與圓（x-2）2+y2=4有交點(diǎn)，于是所以-16≤a≤4.

評注：圓或橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在一個圓上；對于拋物線，交點(diǎn)在準(zhǔn)線上；對于雙曲線=1（a＞b＞0）的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在圓x2+y2=a2-b2上.

（二）勾股圓的探究

T：還有同學(xué)有其他結(jié)論嗎？

S1：因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0），其結(jié)構(gòu)是一組勾股數(shù)，于是我大膽猜想：已知定點(diǎn)A，B，若動點(diǎn)P滿足｜PA｜2+｜PB｜2=r2，則動點(diǎn)P的軌跡為一個圓.

T：不錯，猜想往往是發(fā)現(xiàn)真理最重要的一步，請同學(xué)們對此結(jié)論進(jìn)行探究.

S2：老師，我得到的結(jié)論是：

已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若動點(diǎn)P（x，y）滿足｜PA｜2+｜PB｜2=r2，則動點(diǎn)P的軌跡為一個圓，其方程為2x2+2y2-2（x1+

T：請給這個圓取個名字吧.

S3：因動點(diǎn)P滿足的式子類似于勾股定理，故我稱動點(diǎn)P的軌跡為“勾股圓”.

T：非常形象的名字.

五、數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計的模型

數(shù)學(xué)探究式教學(xué)是在新課標(biāo)理念指導(dǎo)下，對數(shù)學(xué)教學(xué)方式的一次重大改革，通過開展探究性教學(xué)，學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新能力得到提高，老師的教學(xué)理念和教學(xué)方法也有了很大改進(jìn).F