基于“問題鏈”的數學解題教學

江蘇省鹽城中學 喻崢惠

數學學習離不開解題，解題教學在高中數學教學中具有舉足輕重的地位與重要的現實意義.長期以來，數學解題教學始終擺脫不了“教師講解例題，學生練習強化”的固化模式.不可否認，這種做法能夠在短時間內快速提升學生的解題能力，但對于學生獨立探索與自主學習能力的形成卻收效甚微，學生一旦遇到“不熟悉”的題目就很可能出現“手足無措”的狀況，這也就導致了當前的數學解題教學直接陷入“教師擔心講不到位，學生擔心練不全面”的焦慮中.“問題鏈”可以有效彌補當前解題教學存在的這些不足，在數學解題教學中引入問題鏈的設計理念簡直就是“如虎添翼”.下面筆者以一類“含參函數的取值范圍”問題為例談談對此的看法.

例題 已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區間（0，1）上有兩個零點，則a2-2b的取值范圍是______.

這類多參數問題一直是高考的熱點與難點，尤其是以二次函數作為載體呈現的含參取值問題更是常考常新，正所謂“無參不成題”，隨著參數的增加，目標函數的結構趨于復雜化，學生見了更是望而生畏，無從下手.

一、設計啟發式問題鏈把握解題方向

對于這類題的教學，教師不要急于拋出正確的解題思路，而應該從宏觀的角度幫助學生準確把握解題方向.萬變不離其宗，這類題看似陌生，其實也是基于學生熟悉的題型改編而來的，也同樣遵循通性通法.因此，設計啟發式的問題鏈就顯得尤為重要.啟發式問題鏈旨在通過精心設計的問題預設喚醒學生的已有認知，引導學生逐步走出思維的困境，克服畏難的情緒.

問題1-1：以前有沒有做過類似的題目，請舉例說明？

這類問題的原型是“二次函數的零點分布”：已知函數f（x）=x2-x+b（b∈R）在區間（0，1）上有兩個零點，求b的取值范圍.

問題1-2：零點分布問題的解題思路是怎樣的？

零點分布問題的一般處理技巧是利用數形結合思想，圍繞著“端點、△、對稱軸”三個角度寫出約束條件，通過約束條件來求參數的取值范圍.

問題1-3：這個問題與零點分布問題有什么區別？

與一般的零點分布問題相比包含了多個參數，而且最后要求的并非是某個參數的取值范圍，而是一個“式子”，即目標函數的取值范圍.

問題1-4：這個問題能否套用零點分布的解題思路？

問題1-5：看到這組約束條件，你認為存在什么困難？

主要困難有兩個：一是目標函數中出現的非線性關系“a2＞4b”究竟表示什么幾何意義？二是如何建立約束條件與目標函數“z=a2-2b”的聯系？

問題1-6：如果分別用x，y替換a，b，那么上述兩個式子分別表示什么？

圖1

x2＞4y?y＜表示的是拋物線下方的區域；，z表示的是拋物線與可行域有交點時，在y軸上的截距的-2倍.

因此，如圖1所示，z=a2-2b∈（0，2）.

啟發式問題鏈的最大優點是學生在教師的引導下，經歷了一種抽絲剝繭式的思考過程，進而使學生自然地發現解題思路，避免了教師“唱獨角戲”的尷尬.

二、設計遞進式問題鏈明確解題思路

遞進式問題鏈，是根據事物之間的必然聯系，利用正向或逆向的思維方式提出一連串的由淺入深的問題組.相比啟發式問題鏈的“啟發、誘導”功能，遞進式問題鏈所起的作用就是“推進、驅動”.教師把問題分成若干個不同的層次，然后由淺入深地設計問題，通過一環扣一環、一層進一層的遞進式提問，在消除學生思維障礙的同時進一步拓展學生思維的深度與廣度，使學生掌握解這一類題的通性通法.

問題2-1：函數的零點與方程的根、圖像的交點有什么聯系？

函數零點、方程根、圖像交點本質是相同的，它們可以相互轉化，思考的視角不同引發了名稱上的差異.問題2-2：嘗試利用方程根的視角對例題進行分析.問題2-2-1：系數a、b與方程的根有什么聯系？能否用方程的根來表示系數.

韋達定理是溝通根與系數關系的橋梁，設函數f（x）在（0，1）上的兩個零點為x1，x2∈（0，1），則所以

問題2-2-2：上述解題思路的核心是什么？

本質上是換元思想，用根來表示系數，使目標函數的形式發生變化，變得容易求值.一般情況下，我們習慣上用系數來表示根，但現在也可以嘗試用根來表示系數.

問題2-3：嘗試從圖像交點的視角對例題進行分析.

問題2-3-1：能否把函數f（x）=x2+ax+b的零點問題轉化為圖像的交點問題？

f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，零點問題就轉化為拋物線與直線的交點問題.

問題2-3-1能否用圖像的交點視角解決例題？

由于目標函數a2-2b很難直接與“圖像交點”聯系起來，所以此方法不是很有效.

問題2-4：提煉此類問題的解題策略.

關鍵是要對零點、方程的根、圖像交點進行靈活轉換.

問題3：已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區間（0，1）上有兩個零點，則3a+b的取值范圍是______.

問題3-1：嘗試用零點、方程的根、圖像交點三種視角解決此題.

圖2

方法1：零點視角

結合圖2容易得3a+b∈（-5，0）.

方法2：方程根視角

方法3：圖像交點視角

f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令f1（x）=-x2，f2（x）=ax+b，則問題轉化為f1（x）與f2（x）有兩個交點時，求f2（3）的取值范圍.如圖2所示，兩個臨界位置為當直線f2（x）=ax+b與f1（x）=-x2相切于原點和點（1，-1）.當相切于點（1，-1）時，容易求得a=-2，b=1，則f2（x）=-2x+1，所以f2（3）=3a+b∈（-5，0）.

意圖：使學生能夠熟練應用三種視角解決問題，掌握等價轉化的技巧，明確解題的入手點.

問題4：已知函數f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區間［0，1］上有零點，則ab的最大值是______.

問題4-1：嘗試用最簡便的方法解決這道題.

此題與例題和問題3比較存在著細微的差異，那就是“有零點”，而不是“有兩個零點”，這就意味著“零點”的不確定性.那么在零點與方程根的視角下考慮就需要分類討論，過程會比較煩瑣.因此，轉化為圖像交點問題是不錯的選擇.

意圖：讓學生更加關注問題的細節，關注深度思考，實現從一題多解到方法抉擇的跨越.

三、設計遷移式問題鏈拓展解題視野

數學解題教學的目的不僅僅是讓學生掌握一道題或者一類題的解法，而是在于深入挖掘隱藏在解法背后的數學思想，從而把一類解法推廣應用到其他類型的題目上.因此，問題鏈設計還應考慮問題的可遷移性，一個具有遷移性的問題能夠從橫向或縱向蘊含其他重要問題的解決方案.

問題5-1：回顧上述解題過程，思考方程根視角與圖像交點視角解題，目標函數的最值（取值范圍）在什么時候取到？

不難發現，在用方程根視角解題時，目標函數往往在“端點處”取到最值；在用圖像交點視角解題時，目標函數一般在“切線”處取到最值.

問題5-2：上述兩種思想方法背后的數學本質是什么？

方程根視角蘊含著“以值代參”的思想方法，即用確定的值來替換參數的取值，這叫“以靜制動”；圖像交點視角蘊含著“以直代曲”的思想方法，即用切線來刻畫曲線的趨勢，從而使復雜的運動變化得以簡化.

問題6：已知函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且a≠0，記M（a，b，c）為｜f（x）｜在區間［0，1］上的最大值，則的最大值是______.

問題6-1：此題能否用“以值代參”的數學思想解決？

解析：a+b+2c=f（1）+f（0）≤2M（a，b，c），即≤2，因為二次函數在閉區間上的最值顯然可以在端點處取到，所以的最大值是2.

問題7：已知函數f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0），若f（x）≤x2+x恒成立，則ab的最大值是______.

問題7-1：此題能否用“以直代曲”的數學思想解決？

解析：f（x）≤x2+x?ln（ax+b）≤x?ex≥ax+b.要使曲線恒在直線上方，即直線為曲線的切線，設切點為（x0，ex0），則k=a=ex0，b=ex0（1-x0），所以ab=e2x0（1-x0）；令g（x0）=e2x0（1-x0），則g′（x0）=e2x0（1-2x0），所以g（x0）在上單調遞增，在上單調遞減.所以

意圖：解題需要“套路”，但“過死”的套路有時反而會成為解題的障礙.通過對上述兩個問題的解決，解題思想方法明顯變得“活絡”，學生充分感受到“以不變的思想方法應對千變萬化的題目”的解題理念.

以上介紹了三種數學問題鏈的設計案例，當然問題鏈的種類遠不止這三種，我們可以根據解題教學的實際需求設計更多類型的問題鏈，使學生的數學思維水平在發現問題——解決問題——再發現問題的不斷往復循環的過程中得到發展與提升.