翻轉課堂在線性代數教學中的應用探究

黃莉，吳純

（武漢商學院信息工程學院，湖北武漢 430056）

1 翻轉課堂模式對線性代數教學的意義

“翻轉課堂”（Flipped Classroom），源于2007年一位美國教師通過課后發送教學視頻給缺課學生補課，課上再輔導答疑的形式。這種全新的教學模式將課內和課外的學習方式進行了重整，將學習的決定權從教師手上轉交給學生。在翻轉課堂模式下，能讓學生的學習方式更加靈活，更多關注于基于任務的專業學習，課堂中教師和學生能進行更多的互動，學生對學習有主動權，更愿意參與到課堂中來。因此翻轉課堂模式在世界各地都得到大大的推廣，從小學到大學，甚至是學前教育領域都有其應用，尤其把這種模式應用到大學數學課堂中，讓我們的傳統數學課堂別開生面。

目前在線性代數的教學中存在著教學效果差、學生參與度低、學情復雜等問題。特別是這門課，學時較少，概念抽象，解題技巧靈活多變，學生興趣低、掌握程度差，要想有效提高線性代數課堂的教學質量，就需要從根本上對現有的教學模式進行改革和創新。而翻轉課堂模式恰恰能夠在最大程度上激發學生的學習興趣、促進學生積極主動地學習。與此同時，教師在翻轉課堂模式下實現了教學改革、提升了教學質量、促進了師生良性互動、營造了良好的課堂氛圍，并能實現課堂理論與實踐教學的有機結合。

2 線性代數教學中翻轉課堂模式的設計

2.1 課前的翻轉模式

在做課前的翻轉課堂模式設計時，教師需要在最初對課程做好整體規劃，明確每一次翻轉課堂的教學目標、教學重難點。根據教學內容的特點，可以借助微課、短視頻、網上教學資源平臺等等幫助學生在課前自主進行重點知識的學習，讓學生帶著任務和問題去預習，明確課堂的基本流程和教學內容。特別要指出的是，課前的翻轉模式，不受時間和空間的限制，能最大限度地利用碎片化時間去學習。

比如，矩陣的運算這一章，內容很多，在課堂上完成全部教學是比較困難的，但前面一部分內容比較簡單，學生通過自主學習完全可以掌握，那么教師只需課前布置教學任務，讓學生在課前掌握。比如，通過描繪出知識框架圖來讓學生明確矩陣包括哪幾種運算，觀看教學平臺（例如MOOC 和SPOC）的短視頻，并要求學生記錄自己學習過程中的困惑。學習之后讓學生思考：矩陣的運算與數的運算之間有哪些相同和不同之處，學生可以分小組討論并記錄，那么課堂上教師只需要花一點時間對這部分問題做出解答即可。而對于比較困難的部分，教師可以將學習困難的部分作為教學的主要引導問題，比如矩陣的逆運算這一節，課前教師提出問題：矩陣的逆運算可否借鑒數的逆，同時它應滿足什么條件呢？ 讓學生從熟知的問題出發，帶著問題去預習和思考，鼓勵學生自己通過各種渠道嘗試解決，并積極搜集相關素材和資料為課堂中的翻轉做好充分準備。

2.2 課堂中的翻轉模式

在課堂中進行翻轉，常常需要教師做好全局把控，在教學引導的過程中能拋出有針對性和啟發性的教學問題，并組織好學生進行分組討論。每個討論小組最好由5～8 名同學組成，不必設小組長。教師在此過程中旁聽，在評估了學生課前學習的學習水平之后，做好進一步的教學引導，觀察學生遇到的困難，然后有針對性的幫助學生。整個討論過程中盡量讓學生自主進行，強調學生的獨立思考，根據個人理解形成自己的觀點，最好能自己提出問題，并記錄下來，這樣能很好地內化所學知識。

當所有學生以小組的形式展開教學討論時，我們的課堂就真正由學生主導。教師應鼓勵學生自由闡述觀點，學生之間的觀點可以相互碰撞和啟發，同時小組成員之間的交流也可以培養團隊的合作精神。在討論過程中，教師要掌握各小組探究的動態，及時總結每個小組討論后的結論和共同的困惑，與同學們進行充分的對話后，尋根溯源，化解難點，也可以給出適當的提示讓各小組之間繼續進行探討，再次內化學習。

同時借助這種探討的模式，可以解決線性代數中某些教學內容從抽象到具體或者從具體到抽象的矛盾。對于一些比較抽象的概念性知識點，學生難以直接理解。這時需要教師善于在生活中找到這樣的數學模型，從學生熟悉的實際問題為切入點，提出問題，甚至也可以使學生自己發現問題并嘗試自己探索解決問題，教師引導學生將問題與理論和概念相結合，并使其拋去實際背景而抽象出精準的理解數學概念，學生就能很好理解了。也可以鼓勵學生把自己對數學概念的理解表達出來，在表達過程中可加深對數學概念的理解和對數學語言的精確使用，進一步內化學習。

比如向量的線性相關和線性無關，這兩個概念很抽象，學生初學時很難理解，教師可以利用學生熟知的解析幾何中平面上的兩個向量的位置關系引入，通過討論找到兩向量共線的充要條件，發現線性相關的本質，然后在此基礎上去推廣出n 維向量組線性相關的概念，從而準確地掌握這個抽象的概念。又比如線性相關性這一節中有很多理論比較難理解和記憶，我們也可以借助生活中的具體例子來幫助學生理解。對于“低維無關則高維無關，高維相關則低維相關”，我們可以這樣來具化：若一群人中沒有人互相認識（即線性無關），則每個人都踩上高蹺之后還是沒有人互相認識；若踩上高蹺的一群人中有人互相認識（即線性相關），則卸下高蹺后還是有人互相認識。在學生理解之后也可以鼓勵學生自己從其他角度來闡述。

因此在翻轉課堂模式下，教師不再是唯一主角，教師與學生之間有了更多的交流和對話，學生對教學活動有了更多的掌控，學習的熱情將被極大的激發，學習效率更高。

3 課后的翻轉模式

在每一節課的最后，教師要抽出幾分鐘時間來對整個教學內容進行強化和鞏固，這就需要教師能對教學成果做出合理的評估。教師可以根據學生知識掌握的反饋情況來對課堂學習進行歸納總結。如果學生對翻轉課堂的反饋很好，總結也可以由學生課后去完成，比如線性相關性這一塊內容，如果學生在課堂上的翻轉情況較好，教師可以提出問題：判斷向量組的相性相關性可以從哪幾個方面入手？ 那么課后學生通過解決這個問題可以把向量的線性相關性理論、 方程組解的理論以及矩陣秩的理論都結合起來，這樣對前后知識點的聯系將有更深刻的認識。如果教師需要當時做出總結，教師就可以在總結之后，根據下堂課的教學內容來進行教學任務的設計，引出新的學習內容。例如，一個線性相關的向量組，總可以找到一個部分向量組線性無關，那么這個部分的線性無關的向量組是否唯一，它所包含的線性無關的向量個數是否存在最多的情況？ 從而引出下節課的內容——極大無關向量組。

在課后，學生也可以根據自己掌握的情況，自行查缺補漏，自主規劃學習內容和學習節奏，為下一次翻轉課堂做準備。

4 翻轉課堂模式引入線性代數教學中要注意的幾個問題

4.1 翻轉課堂如何與傳統課堂有機結合

在翻轉課堂的模式下，我們的線性代數課堂上也采用了全新的教學模式改革，全面地提高了學生的自主學習能力和探究創新能力。但是我們也不能完全摒棄傳統的教學模式，要根據知識內容的特點來采取適當的結合，對于簡單的知識點，可以完全采用翻轉課堂，而對于學生難以自行掌握的內容，則需要翻轉課堂和傳統課堂按一定比例結合，例如可以考慮對分模式，一半傳統講授一半探究討論，只有這樣才能事半功倍地提高教學質量。

4.2 翻轉課堂切忌形式化，如何落到實處

我們在應用翻轉課堂模式時，絕不可以僅僅是為了翻轉的形式而翻轉，否則我們談翻轉課堂就是一個噱頭，沒有任何實際意義。數學是有著具體的研究對象的一門學科，因此我們翻轉課堂的應用也必須是以具體教學內容為載體的，教學內容最好能細化成若干知識點。特別是線性代數中的概念和知識點較多，因此我們在一次翻轉課堂中，切忌不可貪多，要突出重點，絕不要在一次討論中加入過多知識點，最好每一次討論具體針對一個問題來展開。并且翻轉課堂的引入是一個循序漸進的過程，無論是對于教師還是學生而言，它都是一個需要慢慢積累和不斷摸索的過程，所以我們需要在教學中適時調整。

4.3 翻轉課堂模式下的評價機制如何積極創新？

翻轉課堂模式下，評估是一個很重要的環節，我們要強調過程性的評估，提高學生參與翻轉課堂的積極性，只有學生自覺自愿地加入翻轉課堂，我們才能達到預期的教學效果。因此對于學生的作業（比如常規性的作業、反思性的作業、讀書筆記等），教師批改的態度應是以鼓勵為主，不過多強調對錯，多強調獨立性的思考，鼓勵創新，這其實是給學生一個重要的導向——鼓勵真實、尊重接納。這樣我們的翻轉課堂才能取得真實有效的效果。

5 結語

翻轉課堂的出現，使得我們的傳統課堂模式受到了巨大的沖擊，從教師的教學方式、學生的學習方式、課程的管理模式、 教學的評價體系等等都發生了一系列的巨大變革。實踐表明，在線性代數的教學中引入翻轉課堂，學生的學習興趣和學習的積極主動性都大大提高，對師生雙方都是一個良性的促動。線性代數變得不再那么枯燥，課堂氛圍變得更加活躍了，學生們也真正理解了數學思想，應用數學去分析問題和解決問題的能力也有了進一步的提高。

當然，翻轉課堂的模式不是一成不變的，對于不同的課程、 不同專業的學生，我們都需要做出相應的調整，并且在具體的教學實踐中我們將會面臨許多無法預料的問題和困難，這都需要我們在教學過程中進行不斷的探究和進一步的完善。