例說乘法公式的“活學”與“巧用”

丁延齡

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）48-0246-02

乘法公式以其廣泛的實用性和在應用過程中的多樣性，成為初中數學教學的重點，又因其變化的靈活性和技巧性而成為學習中的難點。在整個初中數學的學習中，從整式乘法到因式分解，從數或式的化簡與求值，到二次方程的解法，以及二次函數的圖象與平面圖形特征的定量討論，特殊不等式的解法等諸多方面都涉及到乘法公式的應用。同時，我們還應注意到，許多問題并不能直接套用公式，還需要添項、拆項、“加減零”、“乘以一”等手段進行變形，因而又極富趣味性和挑戰性。這就是我們要討論的乘法公式的“活學”與“巧用”。

一、在化簡或求值問題中的應用

例1.求值：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

分析：原式中各因式雖有一定的規律，但又沒有現成的公式可用。考慮到平方差公式，只需給原式“乘以一”，即（2-1），雖然不改變原式的大小，但與原式中的首項構成平方差公式，然后，自左向右滾動相乘，便可水到渠成，好戲連臺。于是有如下的解法：

解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（22n-1）（22n+1）=（24n-1）

例2.化簡：

二、在二次方程及函數問題中的應用

例3.已知方程（3a2+4ab+4b2+2）x2+2（a+1）x+1=0有實數根，試求字母a，b的值。

分析：由方程根的情況可知，其判別式△≥0，從而可以得到一個關于字母a和b的不等式。但又因為含有兩個字母，常規解法顯然難以奏效，需通過因式分解轉化為特殊不等式進而討論求解，于是有下面的解法：

解：因為原方程有實數根，∴△≥0，即[2（a+1）]2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0化簡整理得：2a2-2a+4ab+4b2+1≤0

拆項后重新組合得：（a2-2a+1）+a2+4ab+（2b）2≤0，即：（a-1）2+（a+2b）2≤0，由偶次冪的非負性可知：（a-1）2≥0，（a+2b）2≥0

所以a-1=0，a+2b=0，于是：a=1，b=-

例4.已知二次函數的解析式為y=（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）（其中a，b，c為實數，且b≠c），求證：該函數的圖象與x軸一定有公共點。

分析：欲證二次函數的圖象與x軸有公共點，只需證明，當y=0時，關于x的一元二次方程一定有實數解，欲證二次方程一定有解，需證其判別式為非負數，常用的手段是設法通過配方或因式分解來轉化討論。

證明：令y=0，則（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0，

所以△（c-a）2-4（b-c）（a-b）=c2-2ac+a2-4（ab-b2-ac+bc）

=（a+c）2-4b（a+c）+（2b）2=（a+c-ab）2≥0

所以方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0一定有實數解，

即二次函數y=（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）的圖象與x軸一定有公共點。

三、在平面圖形中的應用

例5.已知a、b、c為三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2≤ab+bc+ac，試確定該三角形的形狀。

分析：由三角形三邊的數量關系來判斷其形狀，需將已知的關系式通過變形、轉化，進而揭示其內在的聯系和本質特征，從而探求其三邊之間的相等或不等關系，以確定該三角形的形狀。

解：給原不等式的兩邊同乘以2，得2a2+2b2+2c2≤2ab+2bc+2ac，拆項并整理得：（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）≤0

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0

由偶次冪的非負性可知：（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0

所以a-b=0，b-c=0，c-a=0即a=b=c，故該三角形為等邊三角形。

綜上可知，乘法公式在初中數學的學習中具有極為廣泛的應用，它貫穿于整個初中數學課程的始終，因此，在熟練掌握乘法公式的基礎上，應逐步培養“活學”與“巧用”的技能。實踐表明，乘法公式的“活學”與“巧用”對于啟迪思維、拓寬視野大有裨益，是提高學習效率、增強學習效果、加強知識聯系、優化思維品質的有效途徑。