非恰當微分方程的解法

鄭治波 趙文燕

【摘要】本文查閱文獻資料，系統歸納和總結求非恰當微分方程積分因子的方法，同時應用具體實例分析非恰當微分方程的解題方法與思路，為今后的教學加深對微分方程積分因子的理解。

【關鍵詞】非恰當微分方程? 積分因子? 解法

【基金項目】云南省地方本科高校基礎研究聯合專項青年項目（項目編號：2017FH001-106）;保山學院2018年校級科研項目（項目編號：BYZX201811）;保山學院首批校級應用型人才培養示范院校建設項目（項目編號：ZHP201810）。

【中圖分類號】O175 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）48-0244-02

引言

常微分方程是現代數學的一個重要分支，也是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現象運動、演化和變化規律的最為基本的數學理論和方法[1]。因此，對微分方程相關理論的研究尤為重要，故本文查閱相關文獻資料，系統的歸納和總結求非恰當微分方程積分因子的方法。

1.恰當微分方程與積分因子

定義1[1]? 一階方程

M（x，y）dx+N（x，y）dy=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-1）

其中，M（x，y），N（x，y）在某矩形區域內關于x，y的連續函數且有連續的一階偏導數。

若方程（1-1）的左端恰好是某個二元函數u（x，y）的全微分，即

M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-2）

則稱（1-1）為恰當微分方程（全微分方程）。方程（1-1）的通解為u（x，y）=c，其中c是任意常數。

若存在連續可微的函數？滋=？滋（x，y）≠0，使得

？滋（x，y）M（x，y）dx+？滋（x，y）N（x，y）dy=0? ? ? ? ? ? （1-3）

為一恰當微分方程，即存在函數？自，使？滋Mdx+？滋Ndy=d？自，則稱？滋（x，y）為方程（1-1）的積分因子。

定理1[1] 設函數M（x，y）dx和N（x，y）dy在一個矩形區域R中連續且有連續的一階偏導數，則稱（1-1）為恰當微分方程的充要條件是

由（1-3）可知，求解非恰當方程的關鍵是尋找合適的積分因子將其轉化為恰當微分方程。

2.求非恰當微分方程的積分因子

（1）觀察法

ydx+xdy=d（xy）

觀察法是對非恰當微分方程做適當的變形，利用熟悉的二元函數的全微分公式（2-1）求非恰當微分方程的積分因子。

（2）公式法

定理2[1] 設M=M（x，y），N=N（x，y）和？漬=？漬（x，y）在某區域內都是連續可微的，則方程（1-1）有形如？滋=？滋（？漬（x，y））的積分因子的充要條件是：函數

是？漬（x，y）的函數，若設（2-2）僅是？漬（x，y）的函數為f=f（？漬（x，y）），有G（u）u）du，則函數？滋=eG（？漬（x，y））就是方程（1-1）的積分因子。

證明? 因為如果方程（1-1）有積分因子？滋=？滋（？漬），則由（1-4）得

即

-3x2y+x）dx+（x2y-x3）dy=0，從而可得到隱

u≡x4：把原方程改寫為如下兩組和的形式：

（y2dx+xydx）+（2x2ydx+x3dy）=0

？滋=x3y2

從而求得其通解為：

4.結論

尋找非恰當微分方程的積分因子尤為重要，本文查閱文獻資料，系統歸納和總結了利用觀察法、公式法和分組組合法求非恰當微分方程的積分因子，同時應用具體實例分析非恰當微分方程的解題思路。

參考文獻：

[1]王高雄，朱思銘，周之銘，王壽松.常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：

鄭治波（1985-），女，云南騰沖人，保山學院數學學院講師，碩士，研究方向：應用數學。