拉格朗日中值定理在微積分解題中的應用

黃梅花

【摘要】微分中值定理主要包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理。拉格朗日中值定理為主要核心，羅爾中值定理為特殊情況，柯西中值定理為推廣，其構成為微分學的理論基礎，在微分學中具有重要的作用，也是數學研究主要工具，使用相當廣泛。

【關鍵詞】拉格朗日中值定理? 微積分? 解題

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）48-0006-02

高等數學研究對象為實數集中函數性質，對函數性質研究的主要工具就是微分中值定理。微分中值定理指的是對通過導數已知性質推斷函數性質討論的工具，創建使用導數知識研究函數形態的橋梁。微分中值定理中的拉格朗日中值定理能夠將函數及導數關系相互連接。本文重點在分析求極限問題、不等式問題和級數收斂性判斷方面如何使用拉格朗日中值定理進行分析及研究，并且給出實際案例進行驗證。

1.拉格朗日中值定理的證明

在使用拉格朗日中值定理進行證明的過程中，一般都要使用輔助函數。利用以下方法創建輔助函數，并且對創建思維過程中進行分析：

定理1：假如函數f（x）在[a，b]閉區間中為連續，在（a，b）開區間為可導，那么其在（a，b）中至少有一點ξ，使f′（ξ）=（f（b）-f（a））/（b-a）成立。

1.1推理法

定理2：如果函數f（x）在[a，b]閉區間中為連續，在（a，b）開區間為可導，使f（a）=f（b），那么其在（a，b）區間中至少有一點ξ，使f′（ξ）=0成立。

假如函數f（x）和g（x）在[a，b]閉區間中連續，在（a，b）開區間中可導，要想使f（x）-g（x）函數在[a，b]區間中滿足羅爾中值定理，其需要滿足的條件是什么？

通過羅爾中值定理可以了解到，要想使f（a）=-g（a）=f（b）-g（b）得到滿足，也就是f（b）-f（a）=g（b）-g（a）

以羅爾定理表示，在（a，b）開區間中至少存在ξ，使f′（ξ）-g′（ξ）=0，也就是f′（ξ）=g′（ξ）

以此就能夠得到以下的理論：

推理1：如果函數f（x）及g（x）能夠在[a，b]閉區間中連續，在（a，b）開區間匯總可導，而且f（b）-f（a）=g（b）-g（a），那么（a，b）開區間中至少具有一點ξ，從而使f′（ξ）=g′（ξ）

簡單來說，就是兩個連續并且在內部可導函數如果在同個區間的增量相同，那么在區間中某個點中也具有一定到數值。

利用推理1對拉格朗日中值定理進行證明，因為f（x）在[a，b]閉區間中相互連續，在（a，b）開區間中可導，如果使g（x）=x，那么函數g（x）在[a，b]中連續，并且在（a，b）中可導。又因為f（x）和g（x）在[a，b]中的增量相同，表示為f（b）-f（a）=g（b）-g（a）。通過推理1表示，至少具有一點ξ∈（a，b），從而使f′（ξ）-g′（ξ）成立，也就是f′（ξ）=

1.2分析法

假設=k，那么f（b）-f（a）-k（b-a）=0，證明k=f′（ξ），ξ∈（a，b）

假如等式左邊的式子b轉變成為a，使其值設置為0，也就是f（b）-f（a）-k（b-a）=0。所以，將等式左邊作為某函數在[a，b]區間中的兩個端點函數值，而且此函數值都設置為0。此也是羅爾中值定理滿足第三個的條件，以此尋找創建輔助函數，也就是：

F（x）=f（b）-f（a）-k（b-a）? ? ?a≤x≤b

以此可以看出來，F（a）=f（b）=0

那么F（x）連接到[a，b]中，在（a，b）中可導。通過Rolle中值定理可以看出來，至少具有一點ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0，那么F′（ξ）=f′（ξ）-k=0。

那么f′（ξ）=K

所以f′（ξ）=

2.拉格朗日中值定理在微積分解題中的使用

2.1應用在不等式中

此定理應用到不等式中的主要思想就是對此定理公式中ξ在（a，b）開區間取值，無論取值是多少，都能夠根據ξ在（a，b）開區間中的某個值對f′（x）的范圍進行估計，或者也能夠認為在ξ為（a，b）中取值對f′（x）取值上下界進行確定，之后根據f′（x）取值最大最小值代替此定理中的f′（ξ），從而能夠得出不等式。

其一，對不等式結構進行觀察，對如果變形之后是否能夠轉變成為此定理基本公式方式進行考慮。

其二，在上個步驟變形基本需求及前提中，對題目所給出的已知條件進行分析，從而創建函數f（x）。

其三，驗證創建的f（x）函數是否滿足此定理條件。

其四，根據f′（x）能夠滿足不等式條件得到題目中需要證明不等式。

以此，就和例題相互結合，從而分析拉格朗日中值定理應用到不等式中的解題方法。

例題：證明0

證明：假設f（x）=archtanh，那么在[0，h]區間中使用此定理實現運算，從而能夠得到：

ξ∈（0，h）

使以上公式進行變形能夠整理成為archtanh=，另外，因為ξ∈（0，h），那么就能夠得到：

archtanh

所以證明了

在此道題目中，假如對于此定理應用到不等式中具有清晰的認知，那么學生在解題過程中都會創建函數，通過單調性等性質實現求解。但是此解題較為麻煩，并且具有較大的計算量，所以使用中值定理實現解題就能夠使問題更加得簡單。另外還要注意，因為拉格朗日中值定理中存在求導公式，所以要牢記archtanh等簡單求導公式，此也是解題基礎。