“端點效應”破解不等式恒成立問題

湖北省黃石市第一中學 (郵編：435000)

1 試題呈現

(2019年新課標全國卷I文科第20題)

已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)是f(x)的導函數．

(1)證明：f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π],f(x)≥ax,求a的取值范圍．

2 試題解析與評析

2.1 試題解析：

(1)略

(2)設函數g(x)=2sinx-xcosx-(a+1)x,則g′(x)=cosx+xsinx-(a+1).

因為g(0)=0,所以一定存在x0∈(0,π],使得x∈[0,x0]時，g′(x)≥0.(若不然，即對任意x0∈(0,π],當x∈[0,x0]時，有g′(x)<0,則x∈(0,x0]時，g(x)<0,不合題意)從而有g′(0)=-a≥0,解得a≤0.

故a≤0是原不等式成立的一個必要條件．

下面證明其充分性：當a≤0時，g(x)≥0在[0,π]上恒成立．

當a≤-2時，g′(x)≥0在[0,π]上恒成立，從而函數g(x)在[0,π]上單調遞增，于是g(x)min≥g(0)=0,此時，g(x)≥0在[0,π]上恒成立，符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,0].

2.2 解法評析

上述解法是一種不同于官方給出的參考答案的方法，此解法由兩個方面構成，一方面，通過由給定區間左端點的導函數值建立不等式g′(0)≥0,求得a的范圍，此范圍是原不等式恒成立的必要條件；另一方面，證明在此范圍內原不等式恒成立，即是原不等式恒成立的充分條件．由這兩個方面知，所求范圍為原不等式恒成立的充要條件，故而正確．

不等式恒成立求參數取值范圍，是高中數學常見問題，也是高考的熱點．解決此類問題的通法是構造函數，對參數分類討論；也可以優先采用分離參數法．然而并非所有的問題都能奏效，例如此題就不是很好解決，但倘若能考慮區間端點的性質，若區間端點處的函數值為零，可先找到一個不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，那么即可求得結論．

3 解法引申與探究

3.1 端點效應

在適當考慮區間端點的性質，先找到一個不等式成立的必要條件，從而縮小范圍，然后再證明必要條件也是充分條件，那么即可求得結論．這種必要性探路，再證充分性分方法，我們稱之為“端點效應”．它實質上是從求“不等式恒成立”的必要條件入手，求得參數的范圍，再證明其為充分條件．

3.2 解法原理

設函數f(x)中含參數m,集合A是給定數集，且?m∈A,f(x)>0恒成立的m的取值范圍為集合B．若?x0∈A,由f(x0)>0解得m∈C(此時B?C)；且當m∈C時，f(x)>0恒成立，則B=C.

在審題中注意研究給定區間左右端點的函數值或導函數值，依據恒成立的不等式(或其變形)，建立一個必然成立的不等式，解此不等式得到參數的一個范圍(必要條件)；然后再證明該范圍(或該范圍內的一部分)是“不等式恒成立”的充分條件．以上兩個方面，即確定了參數的取值范圍．

3.3 適用類型

①不便于參變分離；

②參變分離后的函數形式比較復雜．

3.4 解題步驟

①移項，將所有變量移到一邊，使不等式右側為0；

②計算端點處函數值，驗證端點處函數值是否為0，若為0，則可繼續往下走，否則此題不適合使用端點分析法．

具體操作如下：

(1)必要性條件縮小范圍

①若f(x,m)≥0(m為參數)在[a,b](a,b為常數)上恒成立，且f(a)=0(或f(b)=0)，則f′(a)≥0(或f′(b)≥0)．此法應用于區間端點的函數值為零的情況．

(2)證明充分性得結果

求f′(x)并判斷f(x)的單調性，然后表示f(x)的最小值f(x)min,使得f(x)min≥0即可．注意第二步一定要利用第一步中參數的范圍．

4 應用舉例

4.1 區間端點的函數值為零型

例1(2017年新課標全國卷II文科第21題改編)已知函數f(x)=(1-x2)ex,當x≥0時，f(x)≤ax+1,求a的取值范圍．

解析設函數g(x)=(1-x2)ex-ax-1,則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a.

因為g(0)=0,所以g′(0)=1-a≤0,即a≥1.

故a≥1是原不等式成立的一個必要條件．

下面證明其充分性：當a≥1時，由g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a,可得g″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0),所以函數g′(x)在[0,+∞)上單調遞減，此時，g′(x)≤g′(0)<0,于是函數g(x)在[0,+∞)上單調遞減，因此g(x)≤g(0)=0,符合題意．

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞).

評注本題由給定區間左端點的函數值為0，得到一個關于其導函數的不等式g′(0)≤0,得a的范圍，成為原不等式恒成立的必要條件，然后再證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件．

例2(2016年新課標全國卷II文科第21題改編)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),當x∈(1,+∞)時，f(x)>0,求a的取值范圍.

解析由f(1)=0,要使得當x∈(1,+∞)時，f(x)>0,則必有f′(1)≥0.

故a≤2是原不等式成立的一個必要條件．

綜上所述，a的取值范圍是(-∞,2].

評注本題由給定區間左端點的函數值為0，得到一個關于其導函數的不等式f′(1)≥0,求得a的范圍，成為原不等式恒成立的必要條件，然后再證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件．

4.2 區間端點的函數值與導數值均為零型

例4(2018年湖北省部分重點中學高三期中聯考第21題改編)已知函數f(x)=2x-ln(2x+1),g(x)=ex-x-1,當x>0時，kf(x)≤g(x)恒成立，求實數k的范圍．

5 問題總結

由上可見，對含參不等式恒成立問題，端點效應法是一個不錯的方法，現總結如下：

對于不等式f(x,m)≥0(m為參數)在[a,b](a、b為常數)上恒成立，求m的取值范圍的問題，可按如下處理 (其中m為參數，a、b為常數)：

(1)若f(a,m)=0,則由f′(a,m)≥0 (一階導含參數)得到必要條件，再證明必要條件是充分條件；

(2)若f(b,m)=0,則由f′(b,m)≤0 (一階導含參數)得到必要條件，再證明必要條件是充分條件；

(3)若端點處的一階導數值也為0，則可求二階導數，代人端點值，繼續按(1)或(2)執行，得到必要條件，再證明必要條件是充分條件．

“端點效應”是一種必要性探路，再證充分性的方法，雖然它求出的參數并不一定就是所求的實際范圍，但是可以限定問題成立的大前提，縮小參數的討論范圍，在一定程度可以減少分類討論的類別，降低了思維的成本．