智慧學校環境下對一道課本例題的變式教學

安徽省肥西縣上派初級中學 (郵編：231200)

合肥師范學院數學與統計學院 阮 征 (郵編：230601)

合肥市衛德彬初中數學名師工作室 陳方勇 左其華 (郵編：231200)

1 問題的提出

初中數學課本中的每道例題都是編寫者經過精心的思考和揣摩的，所以課本例題的解法對于學生理解知識點、學會應用知識點上起著至關重要的作用，而承載著它的習題課教學則更應受到教師的高度重視，需要教師對習題課進行拓展和延伸，以此來培養學生更全面“四基”，讓學生能夠舉一反三[1].那么，對數學課本中的例題進行變式就是初中數學習題課必不可少的環節，而傳統的習題教學模式對初中生數學能力和素養的養成是明顯不夠的，那么究竟該如何改進初中數學習題教學呢[2]？近年來，隨著“互聯網+”時代的發展以及大數據、云計算等技術的出現，教育信息化已被推向一個新的發展階段，并且信息技術促進教育革新的實踐也逐漸滲透到了初中數學課堂的教學過程中，智慧學校作為研究課堂教學的一種新視角應運而生，得到了廣泛的應用，它不僅引領了信息時代下學校教學發展的國際潮流與趨勢，更成為了未來學校變革的重要走向，將其同初中數學習題課的變式教學有效融合也必能碰撞出不一樣的“火花”[3].那么何為智慧學校？何為變式教學？下面將對概念一一進行界定，并展示智慧學校環境下對一道課本例題的具體變式設計.

2 概念的界定

2.1 智慧學校

所謂智慧學校是指綜合運用新興信息技術與學校的教學環節深度融合，以提高教育教學質量和教育管理決策水平的新型校園生態.在課堂上表現為：教師和學生每人手中一個平板，教師利用智慧學校平臺存儲的資源，有目的地向學生端推送學習資料或練習素材，師生通過閱讀、批改、修正完成教學內容[4].

2.2 變式教學

所謂變式教學是指為了加深學生對于課本中的基本概念、基本定理的理解，教師有目的、有計劃地對問題的條件或結論進行合理轉換，保留問題的本質因素、變換問題中非本質條件，從而引發學生的靈活思考、提升學生的數學思維水平和素養的教學方法[5].

3 課本例題的變式設計

圖1

滬科版數學課本七年級上冊第56頁的第二章“整式加減”第1課時的例題2安排為日歷問題，即用方框在日歷中框出數字，然后探討所框出的數字之間的數量關系，以幫助學生嘗試用字母表示數、體會由特殊到一般的數學思想方法，并掌握如何用數學符號語言來表示數量關系[6].同時，日歷問題不光在“用字母表示數”的習題課上有著廣泛的應用，也為后面學習“一元一次方程的應用”的習題課提供了完美的變式素材.下面就以這道課本例題為例，借助智慧學校平臺的輔助對日歷中的數學問題進行變式設計，以期達到訓練學生思維、滲透數學核心素養的效果.

課前熱身大家知道8月份有哪些節日嗎？

智慧學校平臺展示出一張2019年8月的日歷(如圖1所示)，并讓學生回答他們所知道8月里的節日有哪些，學生回答出：8月1日——建軍節、8月3日——中國男人節、8月7日——立秋節、8月8日——中國爸爸節、8月12日——國際青年日、8月16日——七夕情人節、8月23日——處暑節、8月24日——中元節……此環節激發了學生探究的欲望，為本節習題課的變式探究做好了鋪墊.接下來，教師告訴學生除了這些，日歷中還有很多秘密，而且可以采用我們剛剛學過的一元一次方程來破解這些秘密，那么本節課就讓我們一起來探索這些隱藏在日歷中的數學問題，此時智慧學校平臺展示標題“一元一次方程的應用——探索日歷中的奧秘”.

原題請用一個等式表示在日歷中用長方形框出的三個數a、b、c之間的關系.

變式1 在日歷中圈出一個豎列上相鄰的三個日期，它們的和是60,那么這三天分別是幾號？

圖2

圖3

思路變式1其實是將課本例題由整式過渡到方程，通過智慧學校平臺分析題干條件以及在日歷中豎列圈數字的動態演示(如圖2所示)，學生很容易聯想到日歷的規律是7天一個循環，即日歷豎列上相鄰的兩個數之間具有相差7的規律.此時學生會立馬想到應用一元一次方程來建立等量關系，那么如何設未知數是首先要考慮的問題.學生經歷小組討論后總結出了三種設法，分別是設圈出的豎列上面的數、中間的數、下面的數為x,而智慧學校平臺展示了日歷在這三種情況下圈出的三個數的具體表示形式(如圖3所示)，學生通過對比發現設日歷中間的數為x的解法最為簡便，從而列出對應的一元一次方程進行求解.

解析設日歷里豎列圈出的中間的數為x,則上面的數為x-7,下面的數為x+7.

由題意得 (x-7)+x+(x+7)=60，

3x=60，x=20.

則上面的數為20-7=13,下面的數為20+7=27.

答案這三天分別是13號、20號和27號.

變式2 將上述問題改為圈出一個橫行上相鄰的三個日期，它們的和是60,那么這三天分別是幾號？

圖4

圖5

思路變式2將變式1中的豎列圈三個相鄰的日期變式為橫行圈三個相鄰的日期，屬于問題不變、條件一般化的變式形式.智慧學校平臺同樣動態演示了在日歷中橫行圈數字的動態演示情況(如圖4所示)，不難發現在日歷中橫行圈出的相鄰數字與豎列圈出的相鄰數字的區別在于它們在數量上相差的規律不同，日歷橫行上相鄰的兩個數之間只相差1,但同樣可以運用一元一次方程來建立等量關系來解答變式2，此時智慧學校平臺展示了設日歷中橫向圈出的左邊的數、中間的數、右邊的數分別為x的情況下的具體表示形式(如圖5所示)，從而列出對應的一元一次方程進行求解.

解析設日歷里橫行圈出的中間的數為x,則左邊的數為x-1,右邊的數為x+1.

由題意得 (x-1)+x+(x+1)=60，

3x=60，x=20.

則左邊的數為20-1=19,右邊的數為20+1=21.

答案中間的數為這三天分別是19號、20號和21號.

變式3 在日歷中用一個2×2的正方形圈出四個日期，使它們的和為80,求這四天分別是幾號.

思路變式3將原題要求的圈出相鄰的三個數字改為圈出正方形中的四個數字，教師借助智慧學校平臺對變式1和變式2中反映出日歷上數字的規律進行總結，得出日歷橫行上的數字規律是從左到右依次增加1,而日歷豎列上的數字規律則是從上到下依次增加7.有了解決變式1和變式2的基礎，學生容易聯想到日歷中任何一處正方形位置的四個數字必然符合這兩條規律，而此時設正方形左上面的數字為x最為簡便，那么右上方的數字則課表示為x+1；左下方的數字恰好左上面數字在豎列上的相鄰數字，故表示為x+7；右下方的數字為左下方數字在橫行上的相鄰數字，即在x+7的基礎上增加1,表示為x+8,最后結合這四個數的總和為80建立的一元一次方程即可求出答案.

解析設日歷里圈出正方形左上方的數為x,則右上方的數為x+1,左下方的數為x+7,右下方的數為x+8.

由題意得x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=80，4x+16=80，4x=64，x=16.

則右上方的數為16+1=17,左下方的數為16+7=23,右下方的數為16+8=24.

答案這四天分別是16號、17號、23號和24號.

變式4 在日歷中用一個3×3的正方形圈出九個日期，使它們的和為108,求這九天分別是幾號.

圖6

思路變式4是在變式3的基礎上將圈出的正方形由四個數字擴大到九個數字，學生在掌握了日歷中橫向和豎向數字的規律后，在腦海中便形成了日歷模型，而此時智慧學校平臺恰到好處地展示出當這個“九宮格”正方形“心臟”部位的數字為x時，另外八個位置數字的表示形式(如圖6所示)，由小到大分別為x-8、x-7、x-6、x-1、x+1、x+6、x+7、x+8,由這九個數的總和為108即可列出方程.

解析設日歷里圈出正方形正中間的數為x,則其他八個數由小到大分別為x-8、x-7、x-6、x-1、x+1、x+6、x+7、x+8.

由題意得

(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=108，

9x=108，x=12.

則其他八個數由小到大分別為12-8=4、12-7=5、12-6=6、12-1=11、12+1=13、12+6=18、12+7=19、12+8=20.

答案這九天分別是4號、5號、6號、11號、12號、13號、18號、19號和20號.

4 結語

通過上述對一道課本例題引發出的四道變式題教學的設計賞析，不難發現智慧學校環境在初中數學習題課有著不可代替的作用.它不但活躍了學生的思維，還能將解題技巧在例題的變式教學中反復滲透，實現了知識升華的效果.由于日歷本身就是采用數學方法編寫的，所以它包含了很多的數學問題，其中還滲透著濃厚的數學文化氛圍，是初中數學習題教學的優質素材.在本節課本例題的變式教學中，教師很好地利用了教學智慧學校平臺的工具幫助學生建立知識間的關聯，取得了事半功倍的效果.所以，在初中數學的變式教學中，教師可以借助智慧學校平臺環境的輔助，以學生原本的生活經驗為基礎、以課本中的經典例題為導向，讓變式出的問題處于學生的最近發展區內，不僅使數學核心素養滲透其中、還使課堂探究“化冰冷為火熱”、更使學生的思路“化靜為動”.