例談幾何畫板輔助課堂教學

安徽省六安市金安區毛坦廠學校 (郵編：237182)

幾何畫板作為一個經典的數學教學軟件，對培養學生的直觀想象能力可以發揮重要作用.它不僅能根據幾何對象間的關系，精準地畫出幾何圖形，還可以輕易地進行幾何變換和迭代，對幾何圖形的數量屬性作出度量.動畫功能可以從運動的觀點研究問題、直觀地展示幾何性質和規律.多樣的顯示功能提高了使用幾何畫板進行數學教學的效果.筆者通過實際的例子，探討在初中數學教學的各個環節中，如何在恰當的時機，靈活方便地使用幾何畫板，來增進學生的興趣、加深學生的理解和掌握、發展學生的探究能力和創新意識、從而提高學生對幾何圖形的直觀想象能力素養.

1 新知探究中

在新授課中，根據教學需要可以利用幾何畫板輔助探究，或啟發思路，或直觀顯示結論.

1.1 直觀演示顯本質

例1二次函數各參數對圖象形態、位置的影響.

圖1

二次函數頂點式y=a(x+h)2+k中，a決定開口，h決定對稱軸，k決定頂點縱坐標.在幾何畫板中，可以生成參數a、h、k可變的y=a(x+h)2+k圖象，展示當a、h、k分別變化時，對圖象分別有什么影響.相比于傳統的板書作圖，更直觀展示了各參數的幾何意義.

1.2 驗證激發證明

例2 證明平行線性質前，先行驗證.

作出平行線a、b后，用第三條直線c去截，度量出截得的∠1、∠2、∠3、∠4.移動點A、B以改變直線c,但內錯角、同位角、同旁內角的數量關系始終保持不變.利用幾何畫板，先驗證結論恒成立，可以激發學生尋找證明過程的興趣，為下一步的證明創造積極的動機，促進對思路的尋求.

例3 勾股定理逆定理，模擬尺規作圖驗證.

圖3

遵照課標精神，初中教材通常對勾股定理逆定理不予證明，僅用一組勾股數為三邊，手工作出對應三角形作為驗證.這會顯得論證不夠充分(沒有演繹推理)，而且由于舉例太少(因為畫圖不便)，也顯示不出來歸納推理.利用幾何畫板，先以t1為長度作線段AB,再分別以A、B為圓心，t2、t3為半徑作圓，兩圓交點為三角形第三個頂點.輸入t1、t2、t3的不同取值，立得相應三角形.當t1、t2、t3為勾股數時，能構成Rt△,當t1、t2、t3不是勾股數時，能構成一般三角形或不能構成三角形.這里的思路同手工作圖，但卻相當節省畫圖時間.可以與手工作圖相配合，幫助學生增加對勾股定理逆定理的熟悉程度和直觀感受，同時也能進一步加深對三角形三邊所需條件及三邊和三角形形狀之間關系的理解，為高中進一步學習三角形邊角關系打下直觀基礎.

又如，反比例函數k的幾何意義.

圖4

在學習完反比例函數概念和位置、增減性之后，學習k的幾何性質時，如果先說“在雙曲線上任取一點P,分別向x軸和y軸作垂線段，垂足為A、B,垂線與坐標軸圍成的矩形，請觀察其面積有什么特點”，接著拖動點P，學生能夠看到，雖然矩形形狀改變了，但面積始終保持不變.再引導學生觀察出面積和k的關系.學生會驚訝發現這個變動中的不變，教師再問一句“為什么？”學生將馬上陷入對“眼見為實”背后原理的探究中，如此得來的知識將非常牢固.這種移動點P的操作，是不借助計算機無法展示的，是傳統教學技術達不到的.

2.拓展探索中

2.1 畫紙筆不可畫，動紙筆不可動

例4 平面鑲嵌問題.

平面鑲嵌是數學基本問題.在初中數學四邊形內容學習后，可以做一些簡單研究，拓寬學生的數學思維.把問題限制在正多邊形鑲嵌上之后，利用正多邊形內角拼成周角，可以解方程求出多種不同組合下的鑲嵌[1].再利用幾何畫板展示不同組合，讓方程解出的“數”轉變為切實可見的“形”，使學生體會數與形的聯系，同時感受數學美.

這種復雜的圖形，是手工作圖無法快速展示的.但是利用幾何畫板的平移、旋轉、反射等變換及迭代功能，卻可以較快地準確實現.

正三角形和正方形鑲嵌的情形：

正方形和正八邊形鑲嵌的情形：

任意四邊形可平面鑲嵌的情形：

圖5

由于四邊形內角和360°,所以任意四邊形的四個內角總可以拼成周角，因此通過旋轉、平移等變換，可以構造出任意四邊形平面鑲嵌的圖案.隨意拉動圖中四邊形的頂點，就可以改變四邊形的形狀，以至整個圖案形狀的改變.無論四邊形的形狀如何，但這種平鋪方式始終能完整地鑲嵌成平面.利用幾何畫板圖形的動態性作出的超出學生想象的展示，使學生產生了很強的新鮮感，學習數學的興趣變得更加濃郁.

例5 兩次軸對稱變換可得平移變換和旋轉變換.

對一個圖形進行連續兩次軸對稱變換，當對稱軸相交時，相當于一個旋轉變換，旋轉角是對稱軸夾角的2倍，當對稱軸平行時，相當于一個平移變換，平移距離是對稱軸距離的2倍[1].對稱軸位置可以改變，圖形的形狀也可以改變，直觀展示了三個幾何變換之間的內在聯系.將孤立知識點間的內在聯系顯示出來，會為同學們打開一個新天地，幫助他們強化用聯系的觀點看問題，像孫維剛所說的“八方聯系，渾然一體”整體結構教學觀所提倡的一樣.并且也利于學生以后學習線性代數中的變換，打下一個感性基礎.這種對所學知識的進一步探究雖然只是一個苗頭，但能讓學生意識到，課標知識點下有著鮮活廣闊的學術世界，使他們接受到知識美的感染.

圖6 圖7

2.2 變化之中有不變，奇妙性質蘊其間

例6 四邊形中點四邊形的性質.

四邊形是除三角形外，初中研究最詳細的多邊形.各種不同四邊形間概念的區別與聯系，以及它們的性質、判定、相關推理及習題，能很好地培養初中生的演繹推理能力和概念思維能力.其中有個很特別的性質，即四邊形的中點四邊形的形狀問題.任意四邊形的中點四邊形，都是平行四邊形；任意矩形的中點四邊形是菱形；任意菱形的中點四邊形是矩形；任意正方形的中點四邊形是正方形.形中有形，形形相依，規律非常有趣，常作為訓練學生綜合運用各特殊四邊形性質與判定的習題.但教師若用多題歸一的眼光來引導學生審視，為何有這些性質？本質是什么？深入挖掘，則會發現：由三角形中位線定理，HG與EF均平行且相等于AC,EH與FG均平行且相等于BD.因此，若AC=BD,則EFGH為菱形；若AC⊥BD,則EFGH為矩形；若AC=BD且AC⊥BD,則EFGH為正方形.原來，中點四邊形的形狀由其各邊是否平行和相等來決定，而這又由原四邊形的兩條對角線來決定.所以，箏形的中點四邊形也是矩形，任意對角線相等的四邊形的中點四邊形都是菱形.經過這種對習題的挖掘與綜合，學生將潛移默化出一種探究思維，不知不覺提高數學上的創造力和研究力，在變幻多端的具體數學問題中，抽絲剝繭找到問題本質，提高數學的抽象思維能力.

圖8 圖9

例7 一線三等角問題.

一線三等角是平面幾何證明中常見的基本模型，一線三直角是其特例.如何在變化中展示不變的性質，幾何畫板帶來了極大方便.拖動圖中點A,可將∠1=∠2=∠3的大小改變為任意角度(<180°),但兩三角形相似(特例是全等)卻始終保持不變.這是手工作圖無法充分直觀展示的.

3 習題研究中

3.1 動點動圖與函數，一目了然在心中

例8 點P在矩形ABCD上沿B-C-D-A上運動，△ABP面積關于點P運動路程的圖象.

如圖10，動點動圖形問題，用幾何畫板動態展示最為合適.相比于傳統的分段分析，更能直觀顯示點和圖形運動的實際情況.點P開始運動時，還能在函數圖象上看到對應于該時刻的點.清晰地顯示了分段函數各段上的情形以及分界點時的情況.

圖10

對這類問題借助幾何畫板處理，有助于學生直觀把握函數概念中“一個量變化，另一個量也隨著變化……對于x在允許取值范圍內的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應”，加深對函數和函數圖象概念的理解.按照馬克思的觀點，“有了變數，運動進入了數學，辯證法進入了數學”.這種幾何畫板展示讓學生看到，很多復雜的問題中都蘊含著函數關系，因此，很能夠提高學生用運動和辯證的觀點去看待現實世界中的數量關系，對提高數學素養有很高的價值.

圖11

3.2 復雜圖形精確畫，一網打盡所有解

例10 正方形ABCD邊長為6，動點M、N滿足AM=BN,求線段CF的最小值.

圖12 圖13

易證△ADM≌△BCN,故∠3=∠2,又易由對稱性知∠1=∠2,故∠1=∠3.而∠1+∠FDA=90°,從而∠3+∠FDA=90°,因此∠DFA=90°,點F軌跡是以DA為直徑的半圓.在展示此題的邏輯推理解法之后，用幾何畫板精確畫圖，并拖動點M,讓學生親眼所見點F軌跡恒在隱形圓上，不可謂不是一種美的享受.

例11 如圖13，長方形ABCD中，BC=8,AB=6,沿AE折疊，點B與點F重合.有點P在矩形CDFE中，且△AEP和△ECP均為Rt△,求△PCD面積.

本題應從兩個直角三角形入手，分析點P應在的軌跡.要使△AEP為Rt△,則點P應在圖中大半圓軌跡上，要使△ECP為Rt△,則點P應在圖中小半圓軌跡上，因此點P應在兩半圓交點P1和P2處.接著再尋找相似等關系解題.相比于手工作圖，幾何畫板展示該題，可以更加精確、快捷、清晰.常規講題方法與借助幾何畫板演示相結合，可以在習題教學中提升教學效果.

3.3 任你風吹雨打，定值巍然不動

圖14 圖15

圖16 圖17

運動的問題用幾何畫板運動地展示，能突破紙筆教學的局限.變化的圖形中卻有定值，使用幾何畫板動態展示變化中的這種不變，能激起學生對物質世界規律的相似認識：即使自然界斗轉星移，滄海桑田，變化萬端，但總有一些客觀規律隱藏在其中.堅持尋找這些規律，就是寶貴的科學精神.

4 數學文化與興趣激發

4.1 迭代生成繁復圖，抽象可達藝術景

圖18

幾何畫板的迭代功能，可以將多次重復的事情交給計算機去做，因此容易創造出大量有用的圖形.通過該功能，也能作出分形圖等美麗的圖像.勾股樹是一個方便易作的例子，可以很快制作出來，加強學生對幾何世界和數學世界的興趣.直角三角形三邊上的正方形，是勾股樹中的基本圖形，可用參數控制迭代深度，用動畫使樹搖動，用參數顏色使樹多彩.

4.2 函數公式有聲音，物理機器與數理

自古至今，音樂始終就與數學之間有密切的聯系[2].聲音信號可以通過傅里葉級數轉化為周期正弦信號的疊加.同學們初學函數，只知道解析式、圖像、計算，如果這時告訴他們，函數還有聲音，不同的函數還有不同的聲音，而且聲音還可以通過函數圖像直觀看到“波形”，這對孩子們的震撼無疑是非常大的.而且增加了學生們對數學與物理學等自然科學之間聯系的了解，也進一步體會了計算機等現代科技的魅力，有助于提高對知識整體的求知欲.

利用幾何畫板，可以對函數解析式生成“聲音”操作按鈕.如y=cos(30xπ)+tan(65xπ+20)+sin(3x2+5xe+50)·sin(1.0472+x6-9x+50)能發出充滿科技感的聲音，y=10sin(2π·512x·sgn(ln(sin(2.6πx))))能發出電話忙音，y=sin(cos(tan(ex)))能發出發動機的聲音.為什么如此呢？這從函數圖像上可以看出來.例如y=sin(cos(tan(ex)))的圖像充滿間斷與變化，有類似于周期性的特點，而y=10sin(2π·512x·sgn(ln(sin(2.6πx))))的圖像則更加有規律，而y=cos(30xπ)+tan(65xπ+20)+sin(3x2+5xe+50)·sin(1.0472弧度+x6-9x+50)的圖象則含有更多隨機性.接著我們再聽聽一次函數、二次函數的聲音，則只是很輕的一聲“啪”而已，這則是由于其函數圖象過于單調和簡單.由此，學生們不僅感覺打開了新世界的大門，而且能體會到初中數學的基礎性作用，增加信心和學習動機.

圖19

5 結語

幾何畫板不僅可以作為教師教學的輔助工具，也可以作為學生數學興趣小組學習的內容，教師應加強對幾何畫板的學習，并在教學的各個環節合理使用.根據義務教育新課程標準以及教育信息化發展規劃等國家文件的要求，教師應積極主動親近教育信息技術、更新思想觀念、改進教學方式，將信息化手段與學科教學有機結合起來，利用信息化手段補充傳統教學之不足，培養更全面更高素質的現代化建設人才.