挖掘集合單元育人價值 培養數學學科核心素養

上海市靜安區教育學院 (郵編：200070)

普通高中數學課程標準(2017年版)指出，數學學科核心素養是數學學科育人價值的集中體現，也是數學課程目標的集中體現. 我們認為，只有當數學學科核心素養目標與數學具體內容的教學結合在一起時，數學學科核心素養目標才能真正落到實處，也只有當數學具體內容的教學體現其獨特的育人價值時，數學教學才是有力的. 下面以集合單元為例，談談集合單元的育人價值與數學學科核心素養的培養.

1 集合單元的育人價值

集合單元的育人價值可以從其學科價值和教育價值兩個方面進行挖掘．集合單元的學科價值反映了其對數學學科發生、發展的重要性，以及在數學學科理論系統中的功能性的認識；集合單元的教育價值則是其對促進學生哪些方面發展的作用的認識，如是否有助于學生積累從具體到抽象的活動經驗，是否能幫助學生更好地學會數學式的思維與表達等等．

1.1 集合單元的學科價值

首先，集合論思想是一種全域性數學思想．集合論思想是現代數學重要而基本的思想，它的概念和方法已經滲透到數學的各個分支以及其他一些自然科學，為這些學科的發展提供了奠基性的方法，近代數學就建立在集合論的基礎之上. 正如希爾伯特所說，“沒有人能把我們從Cantor為我們創造的樂園中開除出去”.

集合論的主要思想表現在：初等集合論思想、實無窮與超窮思想、集合對應思想[1]. 其中，在初等集合論思想指導下，我們可以把一類研究對象作為一個整體進行研究，依據概括原則可以構造一個集合，依據外延原則保證集合的確定性；集合對應思想反映了兩個集合的元素間的關系. 這些思想蘊含在集合單元的有關知識內容之中，如集合的運算中蘊含著運用求交集方法解決問題的思想，波利亞將其提煉為解決問題的“交軌模式”.

其次，集合的語言是現代數學的基本語言．集合語言是現代數學語言的重要組成部分. 數學語言和自然語言的重要區別在于數學語言更加精確，不容易產生歧義. 在基礎教育階段學習使用集合的語言，可以準確、簡潔地表示所要研究的對象，更好地描述所研究的對象之間的關系．

例如，我們可以把每種幾何圖形看成是一個點集，然后研究它所包含的點在位置及數量關系方面的共同特征，這樣往往能夠得到比直觀更為深刻的結論. 線段AB的垂直平分線可以簡潔地表示成點集{P|PA=PB},它揭示了線段垂直平分線的本質所在. 又如，我們可以利用集合語言刻畫四邊形及其特例的關系：{四邊形}?{平行四邊形}?{矩形}?{正方形}. 再如，我們應用集合與對應的語言可以進一步描述函數概念，從而突出函數是兩個數集間的一種確定的對應關系的本質特征，等等.

1.2 集合單元的教育價值

集合單元的教育價值首先表現在：用集合語言簡潔、準確和深刻地表達數學內容的過程中，可以很好地發展數學抽象等素養. 數學抽象主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征. 集合語言的學習體現了數學抽象過程的主要特征：集合的含義是在學生學習積累了大量集合例證的基礎上概括出來的，在獲得集合含義后就有必要用數學語言表征這個數學研究對象，進而研究集合之間的關系，最后研究集合的應用.

集合單元的教育價值還體現在可以展示學習研究數學的一種路徑或方式：通過觀察抽象歸納辨析等獲得集合(數學研究對象)——研究集合的表示——類比實數間的關系研究集合間的關系——類比實數的運算研究集合的運算——集合的應用. 通過這一數學的方式[2]，幫助學生使用集合的語言簡潔、準確地表述數學研究對象，學會用數學的語言表達和交流，體會用集合語言表達數學內容的優點，積累數學抽象的經驗，發展數學抽象、數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養.

2 集合單元數學學科核心素養的培養

現行各種高中數學教科書都有集合初步單元，它們都呈現了“集合的含義——集合的表示——集合間的關系——集合的運算”等知識內容結構，這一結構較好地反映了課程標準中關于集合單元的內容要求，為實現集合單元的育人價值提供了載體.在集合單元的教學中培養數學學科核心素養，需要依托以下三個過程.

2.1 依托集合的概念理解與表示過程

集合的概念是通過概括實例形成的. 我們可以借助實例，分析這些實例中各自的研究對象，如果發現研究對象都滿足一定要求或具有一定特征，則把研究對象統稱為元素，元素組成的總體就形成一個集合.

上述過程是理解集合的含義不可或缺的過程. 其中實例要豐富和典型，它是理解集合含義的素材. 這些實例既要包括學生在小學和初中接觸過的一些數學的例子，如自然數、有理數的集合，不等式x-2<3的解的集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合；又要包括現實生活中的例子，如我們學校2019年9月入學的所有高一學生；還要包括科學情景的例子，如我國從1970～2018年49年內所發射的所有人造衛星，等等. 豐富而典型的實例，既可以幫助學生打開視野，又可以幫助學生辨析、理解概念含義，領會其中的概括原則.

理解集合的含義，需要感悟集合中蘊含的外延原則，即給定一個集合，任何一個元素在不在這個集合中就確定了；一個給定集合的元素是互不相同的，集合中的元素不重復出現；這樣，只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等.

理解集合的含義，還需要經歷一個用自然語言到用符號語言、圖形語言描述集合的過程. 例如，可以設計這樣的活動：結合幾個具體的例子，試比較用自然語言、列舉法、描述法和區間表示集合時，各自的特點和適用的對象. 在自然語言描述集合、列舉法表示集合、描述法表示集合、區間表示集合和文氏圖表示集合的轉換中，感受各種語言和方法表示集合的優點及適用對象，體會用集合語言表達數學研究對象的簡明和深刻性：一般地，集合A的元素用x表示，所有x的共同的特征性質用P(x)表示，則集合A就能表示成{x|P(x)}. 集合A表示成{x|P(x)}意味著，凡具有性質P(x)的對象x都是A的元素，凡是A的元素都具有性質P(x).

2.2 依托集合的關系建立與運算求解

集合之間的關系和運算對學生來講是全新的，但我們可以借助學生已有的知識與經驗引發思考. 如，實數有相等關系，大小關系，你能由實數之間的大小關系，類比想到集合之間的何種關系？你又是如何類比兩個數的運算，想到兩個集合之間的有什么運算？設計這樣的數學思考與探究活動，結合具體的問題情境，在類比、概括等數學活動中，建立集合的關系和基本運算，就能有效地積累數學抽象的經驗，發展數學運算和邏輯推理能力.

例如，集合間包含關系的建立. 在問題“如何類比兩個數的關系思考兩個集合之間的關系”的引導下，觀察如下具體的集合實例：

(1)A={1，2，3},B={1，2，3，4，5}；

(2)設A是我們學校高一(1)班的全體學生組成的集合，B是我們學校全體學生組成的集合；

(3)C={x|x是兩條邊相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}.

通過觀察上述分別用列舉法、自然語言和描述法表示的三組集合，發現每組集合中，第一個集合中的每個元素都屬于第二個集合，把兩個集合之間的這種關系概括出來就形成子集的概念；進一步，可以發現(3)中集合D中的每個元素也都屬于集合C，這樣集合相等的概念自然而生(與實數中的結論“若a≥b且a≤b則a=b”類比)；再進一步，還可以發現(1)(2)還同時存在B中至少有一個元素不屬于A，這樣，真子集的概念應運而生.

如此，在類比思想的指導下，通過觀察、分析一個集合中的元素與另一個集合的從屬關系，進而概括出兩個集合之間的基本關系，并用文字和符號語言加以定義、用圖形語言加以表示. 學生的抽象概括能力就是在這樣具體的概念建立、表征過程中逐步形成的.

2.3 依托集合的語言表達與運用

使用集合的語言，可以準確、簡潔地表示所要研究的對象，這源自集合蘊含的概括原則和確定原則；依據集合的表示、基本關系和基本運算，我們可以更好地描述所研究的對象之間的關系，解決問題.

首先，使用集合語言，引導學生梳理、表達學過的相應數學內容. 例如，我們可用集合語言表示平面幾何對象或位置關系. 用P表示平面內的動點，則以O為圓心，半徑為5的圓表示為集合{P|PO=5}；設平面內有△ABC,且P表示這個平面內的動點，我們可以問學生集合{P|PA=PB}表示什么？屬于集合{P|PA=PB}∩{P|PB=PC}的點又是什么？我們還可以用集合語言表示平面內兩直線的三種位置關系：直線l1、l2相較于一點P可表示為l1∩l2=P，直線l1、l2平行可表示為l1∩l2=?,直線l1、l2重合可表示為l1∩l2=l1=l2,等等.

其次，使用集合語言，引導學生描述和解決問題. 用集合語言描述問題，可以幫助學生打開分析、解決問題的新思路. 例如，學校里開運動會，設A={x|x是參加一百米跑的同學},B={x|x是參加二百米跑的同學},C={x|x是參加四百米跑的同學}. 學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，我們就可以引導學生利用集合的運算來說明這項規定(A∩B∩C=?)，并解釋“A∪B”、“A∩C”的實際含義. 在上述背景下，高一(1)班進行了預賽，共有28名同學參加上述三項比賽，有15人參加一百米跑,有14人參加二百米跑,有8人參加四百米跑,同時參加一百米跑和二百米跑的有3人，同時參加一百米和四百米跑的有3人，沒有人同時參加三項比賽. 我們就可以引導學生借助集合運算的文氏圖，求得同時參加二百米跑和四百米跑的有多少人，只參加四百米跑一項比賽的有多少人，等等.

以課程標準中最基本的核心知識為載體，利用學習過的數學知識分析和解釋現實的、數學的、科學的情境中的問題，以蘊含數學知識之中的數學思想方法為指導解決問題，是培養數學學科核心素養的關鍵過程，數學學科核心素養就是在這樣的日積月累中得以培養的.

3 對數學教學的啟示

根據上述集合單元育人價值及培養數學學科核心素養的過程的分析，我們認為對數學教學有如下啟示.

首先，要重視挖掘有關數學內容對培養提高學生素養方面可能的推動與貢獻. 數學課程標準根據數學學科的特點凝練出的六個數學核心素養，是與具體的數學內容相聯系的. 為此，挖掘數學內容單元對數學核心素養的貢獻，建構與教材單元(章節)內容對應的核心素養細目表[3]，是利用數學的內在力量實現立德樹人的正道.

其次，要設計、選擇與數學學科內容特征、數學核心素養相對應的學習方式. 數學知識的習得需要與習得知識的科學的過程相匹配，只有這樣，知識技能才有可能成為素養. 換句話說，學什么(知識與技能)、怎樣學(過程與方法)、學會什么(能力、品格、觀念)是一個整體，具有內在的一致性，我們不能把三者割裂開來去行動.

總之，集合作為高中數學課程的起始單元，學生學習本單元的經歷和成效，對其學習整個高中數學課程的學習心理、學習方式有重要影響. 我們應該盡可能地以義務教育階段數學課程內容為載體，組織合適的現實情境或數學情境，從中概括出集合、集合的關系和運算等數學對象的一般特征，用自然語言、圖形語言、符號語言表達這些數學研究對象，并進行三種語言的轉換，展現集合語言的魅力，用這樣的數學方式促進學生數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養的發展.